Uma carga pontual de 30 nC está localizada na origem, enquanto um plano y=3 está carregado com 10 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}. Determine \mathbf{E} em (0,4,3).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Uma carga pontual em \mathbf{r}_q=(0,0,0) com carga q=30\\ \mathrm{nC}=30\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
    • Um plano infinito localizado em y=3 com densidade superficial de carga \sigma=10\\ \mathrm{nC/m^{2}}=10\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
    • O ponto onde se quer o campo é P=(0,4,3).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o campo elétrico \mathbf{E} no ponto (0,4,3), ou seja \mathbf{E}(0,4,3).

Passo 2

Entender e aplicar a superposição: o campo total será a soma vetorial do campo criado pela carga pontual mais o campo criado pelo plano carregado. Isto é
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{\text{pontual}}+\mathbf{E}_{\text{plano}}.
Agora vou calcular cada contribuição separadamente.

Passo 3

Cálculo do campo devido à carga pontual: apresentação da fórmula e dos parâmetros.
  • A lei de Coulomb para o campo elétrico de uma carga pontual q em posição \mathbf{r}_q dá, no ponto \mathbf{r},
\mathbf{E}_{\text{pontual}}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|^{2}}\;\hat{\mathbf{r}} ,
onde \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|} é o versor que aponta da carga para o ponto, e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}). A constante \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é frequentemente escrita como k com k\approx8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • Para nossa situação: \mathbf{r}=(0,4,3) e \mathbf{r}_q=(0,0,0). Logo o vetor deslocamento é
\mathbf{r}-\mathbf{r}_q=(0,4,3).
O módulo é
|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|=\sqrt{0^{2}+4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{m}.
O versor é
\hat{\mathbf{r}}=\frac{1}{5}(0,4,3)=\bigl(0,\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\bigr)=(0,0{,}8,0{,}6).
  • A magnitude do campo da carga pontual é
E_{\text{pontual}}=\dfrac{k\,q}{r^{2}}=k\cdot\dfrac{30\times10^{-9}}{5^{2}}=k\cdot\bigl(1{,}2\times10^{-9}\bigr).
Usando k\approx8{,}98755179\times10^{9},
E_{\text{pontual}}\approx 8{,}98755179\times10^{9}\times1{,}2\times10^{-9}\approx10{,}7850621\\ \mathrm{N/C}.
  • Portanto o vetor campo da carga pontual é
\mathbf{E}_{\text{pontual}}=E_{\text{pontual}}\\ \hat{\mathbf{r}}\approx10{,}7850621\,(0,0{,}8,0{,}6).
Calculando componentes:
\mathbf{E}_{\text{pontual}}\approx\bigl(0,\;8{,}6280497,\;6{,}4710373\bigr)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 4

Cálculo do campo devido ao plano carregado: apresentação da fórmula e direção.
  • Para um plano infinito e uniformemente carregado com densidade superficial \sigma, o campo elétrico tem intensidade constante em qualquer ponto e vale
E_{\text{plano}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0},
em cada lado do plano. A direção é normal ao plano, apontando para fora se \sigma>0 (campo sai do plano).
  • No nosso caso o plano é a superfície y=3, que é paralelo ao plano x\!z. O vetor normal unitário que aponta no sentido crescente de y é \hat{\mathbf{n}}=(0,1,0). O ponto (0,4,3) tem y=4>3, isto é, está do lado “acima” do plano (no sentido +y). Como \sigma=10\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}>0, o campo do plano nesse ponto aponta em +y.
  • Converter a densidade e calcular a magnitude:
\sigma=10\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}=1{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
E_{\text{plano}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\dfrac{1{,}0\times10^{-8}}{2\times8{,}854187817\times10^{-12}} \approx\dfrac{1{,}0\times10^{-8}}{1{,}7708375634\times10^{-11}}\approx564{,}1889\\ \mathrm{N/C}.
  • Assim o vetor campo devido ao plano é
\mathbf{E}_{\text{plano}}=E_{\text{plano}}\,(0,1,0)\approx\bigl(0,\;564{,}1889,\;0\bigr)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Somar vetorialmente as contribuições (superposição linear).
  • Some componente a componente:
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{\text{pontual}}+\mathbf{E}_{\text{plano}}
\mathbf{E}\approx\bigl(0,\;8{,}6280497,\;6{,}4710373\bigr)+\bigl(0,\;564{,}1889,\;0\bigr) =\bigl(0,\;572{,}8169497,\;6{,}4710373\bigr)\\ \mathrm{N/C}.
  • Arredondando razoavelmente (por exemplo 3 ou 4 algarismos significativos) fica
\mathbf{E}(0,4,3)\approx\bigl(0,\;572{,}8,\;6{,}471\bigr)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Checagens rápidas e interpretação física curta (ânimo: está indo bem!).
  • Unidade correta: \mathrm{N/C} (ou \mathrm{V/m}), tudo consistente.
  • Observação física: o campo do plano domina numericamente (cerca de 564\\ \mathrm{N/C}) enquanto a carga pontual dá um acréscimo pequeno (~ 10{,}8\\ \mathrm{N/C}) na direção radial.

Resposta

\mathbf{E}(0,4,3)\approx\bigl(0,\;572{,}81695,\;6{,}47104\bigr)\\ \mathrm{N/C}

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