Uma carga pontual igual a 18 mu C está localizada no eixo z a 0,4 m do plano condutor z=0. Determine: (a) a densidade superficial de carga no ponto (0,3 ; 0,4 ; 0); (b) D no ponto ( 0 ; 0,2 ; 0,2 ).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma carga pontual de sigma(rho) ;=; -,q,a2pi,[,rho^2 + a^2,]^3/2, fixada no eixo a uma altura de um plano condutor perfeitamente aterrada em . A gente precisa encontrar:
  1. A densidade superficial de carga induzida no ponto do plano.
  2. O vetor deslocamento elétrico no ponto .
Conteúdo envolvido: método da carga-espelho para condutores, fórmula da densidade superficial induzida e cálculo de campo elétrico (depois transformado em ). A gente vai usar:
– Para no plano:
onde é a distância radial no plano até a projeção da carga.
– Para em : soma do campo gerado pela carga real e pela imagem, depois .

Passo 2

Calcular sigma = -,(18times10^-6, C),l(0,4; mr) 2pil[0,5^2 + 0,4^2r]^3/2 = -,7,2times10^-6 2pi,(0,41)^3/2 approx -4,38times10^-6;C/m^2 no ponto .
  1. Distância radial .
  2. Substituindo na fórmula:
Aqui a gente usou e .

Passo 3

Calcular E = q4pivarepsilon0, r1R1^3 ;+;-q4pivarepsilon0, r2R2^3 no ponto D = q4pil( (0,,0.2,,-0.2)(0.2828)^3 - (0,,0.2,,0.6)(0.6325)^3 r) .
  1. Vetor até carga real ( D approx (0,;1.16times10^-5,;-1.61times10^-5);C/m^2 ):
    ,
    distância .
  2. Vetor até carga imagem ( ):
    ,
    distância .
  3. Campo elétrico
Como , simplifica pra
Calculando numericamente:
, ,

Resposta

(a)
(b)

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