Uma carga positiva Q_{1} de 2 \mu \mathrm{C} encontra-se na posição P_{1}(1,2,1) \mathrm{m}, uma carga negativa Q_{2} de 4 \mu \mathrm{C} encontrase na posição P_{2}(-1,0,2) \mathrm{m} e uma carga negativa Q_{3} de 3 \mu \mathrm{C} encontra-se na posição P_{3}(2,1,3) \mathrm{m}. Encontre a força que atua sobre a carga Q_{3}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Cargas e posições (peguei estes números do enunciado):
    • Q_{1}=2\\ \mu\mathrm{C}=2\times10^{-6}\\ \mathrm{C} em P_{1}(1,2,1)\\ \mathrm{m}.
    • Q_{2}=-4\\ \mu\mathrm{C}=-4\times10^{-6}\\ \mathrm{C} em P_{2}(-1,0,2)\\ \mathrm{m}.
    • Q_{3}=-3\\ \mu\mathrm{C}=-3\times10^{-6}\\ \mathrm{C} em P_{3}(2,1,3)\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede: encontrar a força que atua sobre a carga Q_{3} devido às outras duas cargas (ou seja, a força resultante sobre Q_{3}).

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb em forma vetorial (a ferramenta que vamos usar): a força elétrica exercida por uma carga Q localizada em \mathbf{r}' sobre uma carga q localizada em \mathbf{r} é dada por
\mathbf{F} = k\, q\, Q\, \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert^{3}}.
Aqui:
  • k é a constante eletrostática; para cálculos manuais tomaremos k=9\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} (valor aproximado prático).
  • \mathbf{r} é o vetor posição da carga que sente a força (aqui \mathbf{r}=\mathbf{r}_{3}).
  • \mathbf{r}' é o vetor posição da carga que causa a força (aqui \mathbf{r}_{1} ou \mathbf{r}_{2}).
  • \mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que aponta da carga fonte até a carga onde a força é calculada.
    Uma forma conveniente é primeiro calcular o campo elétrico criado por cada carga no ponto onde está Q_{3}:
\mathbf{E}(\mathbf{r}_{3}) = k\, Q\, \frac{\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}'}{\lvert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}'\rvert^{3}},
e depois obter a força pela relação \mathbf{F}_{3}=Q_{3}\,\mathbf{E}_{\text{total}}(\mathbf{r}_{3}), onde \mathbf{E}_{\text{total}}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}.

Passo 3

Calcular os vetores deslocamento e as distâncias necessárias (tudo retirado das posições dadas):
  • Vetor de P_{1} até P_{3}:
\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1} = (2-1,\;1-2,\;3-1) = (1,\,-1,\;2).
  • Norma ao quadrado e norma:
\lvert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\rvert^{2} = 1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}=6, \qquad \lvert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\rvert = \sqrt{6}.
  • Vetor de P_{2} até P_{3}:
\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2} = (2-(-1),\;1-0,\;3-2) = (3,\;1,\;1).
  • Norma ao quadrado e norma:
\lvert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}\rvert^{2} = 3^{2}+1^{2}+1^{2}=11, \qquad \lvert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}\rvert = \sqrt{11}.

Passo 4

Calcular os campos elétricos em \mathbf{r}_{3} devido a Q_{1} e Q_{2}.
Fórmula usada (já descrita):
\mathbf{E}_{i}(\mathbf{r}_{3}) = k\, Q_{i}\,\frac{\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{i}}{\lvert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{i}\rvert^{3}}.
Primeiro os fatores numéricos (uso k=9\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}):
  • Para Q_{1}=2\times10^{-6}\\ \mathrm{C}:
k\,Q_{1} = 9\times10^{9}\cdot 2\times10^{-6} = 1,8\times10^{4}.
O denominador \lvert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\rvert^{3}=(\sqrt{6})^{3}=6\sqrt{6}.
Logo o fator escalar é
\frac{kQ_{1}}{\lvert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{1}\rvert^{3}} = \frac{1,8\times10^{4}}{6\sqrt{6}}.
Calculemos aproximadamente \sqrt{6}\approx2,4494897, então 6\sqrt{6}\approx14,69694 e
\frac{1,8\times10^{4}}{6\sqrt{6}} \approx \frac{1,8\times10^{4}}{14,69694}\approx 1,224,744\\ (\mathrm{N/C}).
Aplicando ao vetor direção (1,-1,2):
\mathbf{E}_{1}(\mathbf{r}_{3}) \approx 1,224,744\cdot(1,\,-1,\;2) \approx (1,224,744,\,-1,224,744,\;2,449,489)\\ \mathrm{N/C}.
  • Para Q_{2}=-4\times10^{-6}\\ \mathrm{C}:
k\,Q_{2} = 9\times10^{9}\cdot(-4\times10^{-6}) = -3,6\times10^{4}.
O denominador \lvert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}\rvert^{3}=(\sqrt{11})^{3}=11\sqrt{11}.
Calculemos \sqrt{11}\approx3,3166248, então 11\sqrt{11}\approx36,48287 e
\frac{kQ_{2}}{\lvert \mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}\rvert^{3}} \approx \frac{-3,6\times10^{4}}{36,48287}\approx -986,873\\ (\mathrm{N/C}).
Aplicando ao vetor direção (3,1,1):
\mathbf{E}_{2}(\mathbf{r}_{3}) \approx -986,873\cdot(3,\;1,\;1) \approx (-2,960,619,\,-986,873,\,-986,873)\\ \mathrm{N/C}.
(Observação didática: o sinal negativo em Q_{2} inverteu a direção do campo produzido por Q_{2}.)

Passo 5

Somar os campos para obter o campo total em \mathbf{r}_{3}:
\mathbf{E}_{\text{total}}(\mathbf{r}_{3}) = \mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}.
Usando os valores aproximados:
\mathbf{E}_{\text{total}}(\mathbf{r}_{3}) \approx (1,224,744-2,960,619,\; -1,224,744-986,873,\; 2,449,489-986,873).
Realizando as subtrações:
\mathbf{E}_{\text{total}}(\mathbf{r}_{3}) \approx (-1,735,875,\; -2,211,617,\; 1,462,616)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Agora a força sobre Q_{3} é
\mathbf{F}_{3} = Q_{3}\,\mathbf{E}_{\text{total}}(\mathbf{r}_{3}).
Aqui Q_{3}=-3\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Multiplicando componente a componente:
\mathbf{F}_{3} \approx -3\times10^{-6}\cdot(-1,735,875,\; -2,211,617,\; 1,462,616).
Fazendo as multiplicações:
\mathbf{F}_{3} \approx (0,0052076,\; 0,0066349,\; -0,0043878)\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: as componentes F_{x} e F_{y} são positivas (força resultante aponta nos sentidos positivos x e y), e F_{z} é negativa (componente para baixo no eixo z).

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}_{3}\approx(0,0052076,\;0,0066349,\;-0,0043878)\\ \mathrm{N}

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