Uma carga puntiforme q_{1}=4,00 \mathrm{nC} está localizada sobre o eixo x, no ponto x=2,00 \mathrm{~m}, e uma segunda carga puntiforme q_{2}=-6,00 \mathrm{nC} está localizada sobre o eixo y, no ponto
y=1,00 \mathrm{~m}. Qual é o fluxo elétrico total produzido por essas cargas através de uma superfície esférica centralizada na origem e com um raio de
1,50 m? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei esses números do enunciado):
  • Uma carga puntiforme \,q_{1}=4,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}\, está no ponto x=2,00\\ \mathrm{m} (ou seja, a distância da origem é 2,00\\ \mathrm{m}).
  • Outra carga puntiforme \,q_{2}=-6,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}\, está no ponto y=1,00\\ \mathrm{m} (ou seja, a distância da origem é 1,00\\ \mathrm{m}).
  • Há uma superfície esférica centrada na origem com raio r=1,50\\ \mathrm{m}.
    O que o enunciado pede: calcular o fluxo elétrico total produzido por essas cargas através da superfície esférica de raio 1,50\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Decidir quais cargas estão dentro da esfera (informação necessária para usar a lei de Gauss).
  • Distância da origem até q_{1}: 2,00\\ \mathrm{m}. Como 2,00>1,50, a carga q_{1} está fora da esfera.
  • Distância da origem até q_{2}: 1,00\\ \mathrm{m}. Como 1,00<1,50, a carga q_{2} está dentro da esfera.
    Portanto, a única carga contida pela superfície é q_{2}=-6,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}. (Anotação: peguei essas distâncias diretamente dos pontos dados no enunciado.)

Passo 3

Apresentar a lei que vamos usar e explicar por que só interessa a carga interna.
A lei de Gauss para o fluxo elétrico através de uma superfície fechada diz:
\Phi_{\text{total}}=\frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde
  • \Phi_{\text{total}} é o fluxo elétrico total através da superfície fechada (unidade: \mathrm{N\cdot m^{2}/C}),
  • q_{\text{int}} é a soma algébrica das cargas internas à superfície (em coulombs),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
Explicação didática e intuitiva: o fluxo através de uma superfície fechada depende apenas da carga total que está dentro dela. Cargas fora da superfície podem distorcer linhas de campo que atravessam a superfície, mas cada linha que entra também sai, resultando em fluxo líquido zero. Por isso podemos ignorar q_{1} (que está fora) e considerar apenas q_{2}.

Passo 4

Calcular numericamente o fluxo usando q_{\text{int}}=q_{2}.
Primeiro, escrever os valores em SI:
q_{\text{int}}=q_{2}=-6,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, \qquad \varepsilon_0=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
Aplicando a lei de Gauss:
\Phi_{\text{total}}=\frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} =\frac{-6,00\times10^{-9}}{8,854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Agora fazemos a divisão (mostrando o raciocínio para poder ser feito sem calculadora numa prova: note que dividir por 8{,}854\times10^{-12} é o mesmo que multiplicar por aproximadamente 1{,}129\times10^{11}, mas aqui basta reconhecer a ordem de grandeza e executar a divisão com atenção às potências de dez):
\Phi_{\text{total}}\approx -6{,}00\times10^{-9}\div 8{,}854187817\times10^{-12}\approx -6,77\times10^{2}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Interpretação do sinal: o fluxo negativo indica que, em conjunto, há fluxo líquido entrando na superfície (ou seja, mais linhas de campo entram do que saem), o que faz sentido porque a carga interna é negativa.

Passo 5

Resumo final e observações úteis para a prova (bastante prático):
  • Passo para resolver rapidamente numa prova: identifique quais cargas estão dentro da superfície; some-as algebraicamente; aplique \Phi=q_{\text{int}}/\varepsilon_0. Não importa a posição exata da carga interna nem o raio da esfera, desde que a carga permaneça dentro.
  • No caso dado, apenas q_{2} está dentro, então a resposta é o valor calculado acima.

Resposta

\Phi_{\text{total}}\approx -6,77\times10^{2}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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