Uma carga puntiforme q_{1}=4,00 \mathrm{nC} está localizada sobre o eixo x, no ponto x=2,00 \mathrm{~m}, e uma segunda carga puntiforme q_{2}=-6,00 \mathrm{nC} está localizada sobre o eixo y, no ponto
y=1,00 \mathrm{~m}. Qual é o fluxo elétrico total produzido por essas cargas através de uma superfície esférica centralizada na origem e com um raio de
2,50 m? Explique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Uma carga puntiforme q_{1}=4,00\\ \mathrm{nC} está em x=2,00\\ \mathrm{m} (no eixo x).
  • Outra carga puntiforme q_{2}=-6,00\\ \mathrm{nC} está em y=1,00\\ \mathrm{m} (no eixo y).
  • Há uma superfície esférica centrada na origem com raio 2,50\\ \mathrm{m}.
O que o problema pede:
  • Calcular o fluxo elétrico total produzido por essas cargas através da superfície esférica.

Passo 2

Verificar se cada carga está dentro da esfera (pois a lei de Gauss usa somente a carga total dentro da superfície fechada).
  • A posição de q_{1} é (2,00,0,0), então sua distância ao centro é \,2,00\\ \mathrm{m}. Como 2,00<2,50, q_{1} está dentro da esfera.
  • A posição de q_{2} é (0,1,00,0), então sua distância ao centro é \,1,00\\ \mathrm{m}. Como 1,00<2,50, q_{2} também está dentro da esfera.
Conclusão: as duas cargas estão dentro da superfície esférica.

Passo 3

Apresentar a lei que vamos usar (e explicar): a lei de Gauss para campos elétricos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada dividida pela permissividade do vácuo. Em fórmula:
\Phi_{\text{total}}=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui:
  • \Phi_{\text{total}} é o fluxo elétrico total através da superfície (unidade \mathrm{N\cdot m^{2}/C}).
  • q_{\text{enc}} é a soma algébrica das cargas dentro da superfície (unidade \mathrm{C}).
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, \varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})} (valor aproximado).
Observação didática curta: o valor do fluxo não depende de onde, dentro da superfície, as cargas estão localizadas — só importa a carga total encerrada. Cargas fora da superfície não contribuem para o fluxo líquido através dela.

Passo 4

Calcular a carga total encerrada:
q_{\text{enc}}=q_{1}+q_{2}=(4,00\\ \mathrm{nC})+(-6,00\\ \mathrm{nC})=-2,00\\ \mathrm{nC}.
Converter para coulombs:
q_{\text{enc}}=-2,00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Aplicar a lei de Gauss e efetuar a conta, mostrando passos de forma explícita:
\Phi_{\text{total}}=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{-2,00\times10^{-9}}{8,85\times10^{-12}}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Fazer a divisão em notação científica:
\frac{2,00\times10^{-9}}{8,85\times10^{-12}}=\frac{2,00}{8,85}\times10^{3}\approx0,2259\times10^{3}=225,9.
Incluindo o sinal:
\Phi_{\text{total}}\approx -225,9\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados do problema):
\Phi_{\text{total} }\approx -2,26\times10^{2}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 6

Interpretação física rápida e encorajamento: o fluxo é negativo porque a carga total encerrada é negativa — isto é, há mais linhas de campo entrando na esfera do que saindo. Pronto — esse é o resultado que você deve apresentar na prova; a conta foi só uma aplicação direta da lei de Gauss depois de checar quais cargas estão dentro.

Resposta

-2,26\times10^{2}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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