Uma carga puntiforme isolada é colocada no centro de uma casca esférica de raio de 20 cm . O campo elétrico através da casca é 1,5 \mathrm{kN} / \mathrm{C}. Qual o valor da carga que está no centro da esfera?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar bem claro):
  • Uma casca esférica de raio 20\\ \text{cm}. Ou seja, o raio é r=20\\ \text{cm}=0,20\\ \text{m}.
  • O campo elétrico medido na casca (na superfície esférica) é 1{,}5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{C}. Em unidades SI isso é E=1{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
  • Há uma carga pontual colocada no centro da casca — precisamos encontrar o valor dessa carga q.
O que o problema pede: calcular q, dado E na superfície esférica de raio r.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado com calma):
  • Para uma carga puntiforme colocada no centro de uma esfera, o campo elétrico é radial e tem simetria esférica. Nessa situação a lei de Gauss é a forma mais direta.
  • A lei de Gauss, em palavras simples, diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale a carga total interna dividida por \varepsilon_0. Matematicamente, para nossa esfera:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Como \mathbf{E} é constante em cada ponto da superfície esférica e é paralelo a d\mathbf{A}, o fluxo é E vezes a área da esfera. A área da esfera de raio r é 4\pi r^{2}. Logo:
E\cdot 4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_0}.
  • Isolando a carga q:
q=\varepsilon_0\,E\,4\pi r^{2}.
Vou também mencionar uma forma equivalente usando a constante de Coulomb k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. A partir de E=\dfrac{kq}{r^{2}} obtemos
q=\frac{E\,r^{2}}{k}.
Ambas as fórmulas são equivalentes; uso a que for mais prática para calcular.

Passo 3

Definição e valores das constantes que vou usar (para não ficar confuso):
  • Permitividade do vácuo: \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Constante de Coulomb: k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • Valores do enunciado: E=1{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N/C} e r=0{,}20\\ \mathrm{m}.
    Escolho usar a forma com k porque simplifica a conta numérica:
q=\frac{E\,r^{2}}{k}.

Passo 4

Cálculo passo a passo (sem pular etapas):
  1. Calcular r^{2}:
r^{2}=(0{,}20)^{2}=0{,}040\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Calcular o produto E\,r^{2}:
E\,r^{2}=(1{,}5\times10^{3})\cdot 0{,}040 = 1{,}5\times10^{3}\times 4{,}0\times10^{-2}.
Faço em etapas: 1{,}5\times4{,}0=6{,}0 e 10^{3}\times10^{-2}=10^{1}, então
E\,r^{2}=6{,}0\times10^{1}=60.
Observação: a unidade desse número é \mathrm{N\cdot m^{2}/C}, consistente para dividir por k.
3) Agora divido por k:
q=\frac{60}{8{,}9875517923\times10^{9}}\\ \mathrm{C}.
Para dividir, escrevo em potência de dez:
q \approx 6{,}675510\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
(Detalhe da aproximação: 60/(8{,}9875517923)\approx6{,}675510 e o 10^{-9} vem de dividir por 10^{9}.)
4) Em unidades mais comuns para cargas pequenas, isso é:
q\approx 6{,}68\times10^{-9}\\ \mathrm{C}=6{,}68\\ \mathrm{nC}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida (pra te deixar confiante):
  • O sinal: o enunciado não informou se o campo aponta para dentro ou para fora; normalmente quando dizem apenas "o campo é 1{,}5\\ \mathrm{kN/C}" tratamos o módulo do campo. Assim dei o valor absoluto da carga. Se fosse pedido o sinal, precisaríamos da direção do campo (radial saindo da carga → carga positiva; radial entrando → carga negativa).
  • Ordem de grandeza: alguns nC faz sentido para campos de 10^{3}\\ \mathrm{N/C} a distâncias decimais de metro.

Resposta

6{,}68\times10^{-9}\\ \mathrm{C}

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