Uma carga puntiforme de
e uma carga puntiforme de
estão separadas por uma distància
no eixo
. Onde deveria ser colocada uma terceira carga puntiforme para que a força elétrica nesta terceira carga fosse igual a zero?
Passo 1
O enunciado dá duas cargas puntiformes e a separação entre elas:
- Uma carga
localizada em um ponto do eixo . - Uma carga
localizada a uma distância de ao longo do eixo .
O que se pede: determinar onde deve ser colocada uma terceira carga puntiforme(sobre o mesmo eixo ) para que a força elétrica resultante sobre seja igual a zero.
Informações/assunções relevantes:
- Vou colocar
em e em para simplificar a descrição. - O enunciado não especifica o sinal de
. Para cargas e ambas positivas (valor dado sem sinal, normalmente se assume positivas), existe uma posição entre e onde as forças de e sobre apontam em sentidos opostos, possibilitando cancelamento. Vou usar isso (se os sinais fossem diferentes, a posição válida muda, mas aqui assumimos as duas positivas).
Passo 2
Relembrando a lei de Coulomb e superposição (a “aula rápida” que vai ajudar a fazer a conta):
- A força elétrica de uma carga
sobre outra , em módulo, é dada por
onde
é a constante eletrostática e
é a distância entre as duas cargas.
- A direção da força depende dos sinais: cargas de mesmo sinal se repelem (força ao longo da reta que liga as cargas, apontando para fora), cargas de sinais opostos se atraem (apontando para dentro).
- O princípio da superposição diz que a força total sobre
é a soma vetorial das forças causadas por e por . Para que a força total seja zero, as duas forças devem ter mesma intensidade e sentidos opostos.
Passo 3
Escolha de coordenadas e análise qualitativa das regiões possíveis:
- Coloco
em e em . - Seja
a posição da carga ao longo do eixo (distância medida a partir de ). Queremos achar tal que a força resultante seja zero. - Há três regiões possíveis para
: (A) (à esquerda de ), (B) (entre e ), (C) (à direita de ). - Se
e têm o mesmo sinal (ambas positivas), nas regiões (A) e (C) as forças exercidas por e sobre têm o mesmo sentido (ambas empurram ou puxam para o mesmo lado), portanto não podem se cancelar. Logo, a única região possível para equilíbrio é a região (B), entre e .
Passo 4
Escrever as expressões das forças (módulos) em função de
e igualá-las:
- Distância de
até é . - Distância de
até é . - Módulo da força de
sobre :
- Módulo da força de
sobre :
Para que a força resultante seja zero (na região entre as cargas), precisamos de
. Podemos cancelar
e
(o resultado não depende do valor nem do sinal de
, apenas do fato de estar entre as cargas de mesmo sinal). Assim:
Passo 5
Resolver a equação para
:
Partindo de
Partindo de
fazemos produto cruzado:
Tirando raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque estamos em distâncias positivas):
Reescrevendo:
logo
Passo 6
Substituir os valores numéricos das cargas:
-
, então e . - Assim
Interpretação: a posição está entre as cargas, a uma distância
de
(a carga de
), ou seja mais perto da carga menor, como esperado (o ponto de equilíbrio fica mais próximo da carga de menor valor).
Passo 7
Observações finais e verificação rápida:
- Há apenas essa solução sobre o eixo
quando e têm o mesmo sinal; nas regiões fora do intervalo as forças apontariam no mesmo sentido e não se cancelariam. - Se
e tivessem sinais opostos, o ponto de equilíbrio estaria fora do segmento entre elas (análise diferente). Aqui, com ambas positivas, a solução dada é única sobre o eixo entre as cargas.