Uma carga puntiforme de 2 \mu C e uma carga puntiforme de 4 \mu C estão separadas por uma distància L no eixo x. Onde deveria ser colocada uma terceira carga puntiforme para que a força elétrica nesta terceira carga fosse igual a zero?

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntiformes e a separação entre elas:
  • Uma carga q_1 = 2\\ \mu\text{C} localizada em um ponto do eixo x.
  • Uma carga q_2 = 4\\ \mu\text{C} localizada a uma distância L de q_1 ao longo do eixo x.
    O que se pede: determinar onde deve ser colocada uma terceira carga puntiforme q_3 (sobre o mesmo eixo x) para que a força elétrica resultante sobre q_3 seja igual a zero.
Informações/assunções relevantes:
  • Vou colocar q_1 em x=0 e q_2 em x=L para simplificar a descrição.
  • O enunciado não especifica o sinal de q_3. Para cargas q_1 e q_2 ambas positivas (valor dado sem sinal, normalmente se assume positivas), existe uma posição entre q_1 e q_2 onde as forças de q_1 e q_2 sobre q_3 apontam em sentidos opostos, possibilitando cancelamento. Vou usar isso (se os sinais fossem diferentes, a posição válida muda, mas aqui assumimos as duas positivas).

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb e superposição (a “aula rápida” que vai ajudar a fazer a conta):
  • A força elétrica de uma carga q_a sobre outra q_b, em módulo, é dada por
F = k\frac{|q_a q_b|}{r^{2}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática e r é a distância entre as duas cargas.
  • A direção da força depende dos sinais: cargas de mesmo sinal se repelem (força ao longo da reta que liga as cargas, apontando para fora), cargas de sinais opostos se atraem (apontando para dentro).
  • O princípio da superposição diz que a força total sobre q_3 é a soma vetorial das forças causadas por q_1 e por q_2. Para que a força total seja zero, as duas forças devem ter mesma intensidade e sentidos opostos.

Passo 3

Escolha de coordenadas e análise qualitativa das regiões possíveis:
  • Coloco q_1=2\\ \mu\text{C} em x=0 e q_2=4\\ \mu\text{C} em x=L.
  • Seja x a posição da carga q_3 ao longo do eixo (distância medida a partir de q_1). Queremos achar x tal que a força resultante seja zero.
  • Há três regiões possíveis para x: (A) x<0 (à esquerda de q_1), (B) 0<x<L (entre q_1 e q_2), (C) x>L (à direita de q_2).
  • Se q_1 e q_2 têm o mesmo sinal (ambas positivas), nas regiões (A) e (C) as forças exercidas por q_1 e q_2 sobre q_3 têm o mesmo sentido (ambas empurram ou puxam q_3 para o mesmo lado), portanto não podem se cancelar. Logo, a única região possível para equilíbrio é a região (B), entre q_1 e q_2.

Passo 4

Escrever as expressões das forças (módulos) em função de x e igualá-las:
  • Distância de q_3 até q_1 é r_1 = x.
  • Distância de q_3 até q_2 é r_2 = L-x.
  • Módulo da força de q_1 sobre q_3:
F_1 = k\frac{|q_1 q_3|}{x^{2}}.
  • Módulo da força de q_2 sobre q_3:
F_2 = k\frac{|q_2 q_3|}{(L-x)^{2}}.
Para que a força resultante seja zero (na região entre as cargas), precisamos de F_1 = F_2. Podemos cancelar k e |q_3| (o resultado não depende do valor nem do sinal de q_3, apenas do fato de estar entre as cargas de mesmo sinal). Assim:
\frac{q_1}{x^{2}}=\frac{q_2}{(L-x)^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação para x:
Partindo de
\frac{q_1}{x^{2}}=\frac{q_2}{(L-x)^{2}},
fazemos produto cruzado:
q_1 (L-x)^{2} = q_2 x^{2}.
Tirando raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque estamos em distâncias positivas):
\frac{L-x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}.
Reescrevendo:
L-x = x\sqrt{\frac{q_2}{q_1}},
L = x\left(1+\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\right),
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x = \frac{L}{1+\sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}}}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos das cargas:
  • q_1 = 2\\ \mu\text{C}, q_2 = 4\\ \mu\text{C} então \dfrac{q_2}{q_1}=\dfrac{4}{2}=2 e \sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}}=\sqrt{2}.
  • Assim
x = \frac{L}{1+\sqrt{2}} \approx 0,4142\,L.
Interpretação: a posição está entre as cargas, a uma distância \dfrac{L}{1+\sqrt{2}} de q_1 (a carga de 2\\ \mu\text{C}), ou seja mais perto da carga menor, como esperado (o ponto de equilíbrio fica mais próximo da carga de menor valor).

Passo 7

Observações finais e verificação rápida:
  • Há apenas essa solução sobre o eixo x quando q_1 e q_2 têm o mesmo sinal; nas regiões fora do intervalo [0,L] as forças apontariam no mesmo sentido e não se cancelariam.
  • Se q_1 e q_2 tivessem sinais opostos, o ponto de equilíbrio estaria fora do segmento entre elas (análise diferente). Aqui, com ambas positivas, a solução dada é única sobre o eixo entre as cargas.

Resposta

\displaystyle x=\frac{L}{1+\sqrt{2}}

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