Uma carga puntiforme de \mathbf{5} \boldsymbol{\mu} \boldsymbol{C} está no eixo \boldsymbol{y} em \boldsymbol{y}=\mathbf{3 ~ c m}, e uma segunda carga puntiforme de -5 \mu C está no eixo y \mathrm{em} y=-3 \mathrm{~cm}. Determine a força elétrica em uma carga puntiforme de 2 \mu C que está no eixo x \mathrm{em} x=8 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar direitinho para a gente não se perder):
  • Duas cargas puntiformes estão no eixo y:
    • q_1 = +5\,\mu\mathrm{C} em (x,y)=(0,\;3\\ \mathrm{cm}).
    • q_2 = -5\,\mu\mathrm{C} em (x,y)=(0,\;-3\\ \mathrm{cm}).
  • Uma terceira carga pontual (a que queremos analisar) é
    • q_3 = +2\,\mu\mathrm{C} em (x,y)=(8\\ \mathrm{cm},\;0).
O que o problema pede:
  • Determinar a força elétrica total que atua sobre q_3 (magnitude e direção / componentes).
Informações numéricas importantes que vamos usar (já listadas para referência):
  • 1\,\mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • Para cargas puntuais a interação é dada pela Lei de Coulomb em módulo:
F = k\,\frac{|q_a q_b|}{r^{2}},
onde
  • F é a magnitude da força entre as cargas q_a e q_b,
  • r é a distância entre as cargas (em metros),
  • k é a constante eletrostática no vácuo; aqui vamos usar k=9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Força é um vetor. Quando houver várias cargas, usamos o princípio da superposição: a força total sobre q_3 é a soma vetorial das forças devidas a q_1 e a q_2:
\mathbf{F}_{\text{tot}}=\mathbf{F}_{13}+\mathbf{F}_{23},
onde \mathbf{F}_{13} é a força sobre q_3 devido a q_1, e \mathbf{F}_{23} é a força sobre q_3 devido a q_2.

Passo 3

Passo inicial de cálculo — converter unidades e calcular distâncias do ponto q_3 até cada carga:
  • Convertemos cargas para coulombs:
    • q_1=+5\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
    • q_2=-5\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
    • q_3=+2\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Convertemos posições para metros:
    • q_1 em (0,\;0{,}03\\ \mathrm{m}),
    • q_2 em (0,\;-0{,}03\\ \mathrm{m}),
    • q_3 em (0{,}08,\;0\\ \mathrm{m}).
Distância entre q_3 e q_1 (mesma que entre q_3 e q_2 por simetria):
r=\sqrt{(0{,}08-0)^{2}+(0-0{,}03)^{2}}=\sqrt{0{,}08^{2}+0{,}03^{2}}=\sqrt{0{,}0064+0{,}0009}=\sqrt{0{,}0073}.
Em metros:
r=\sqrt{0{,}0073}=0{,}085440037\ldots\\ \mathrm{m}.
Também observe que
r^{2}=0{,}0073\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a magnitude da força entre q_3 e cada uma das outras cargas (ambas têm mesmo módulo de carga e mesma distância, então as magnitudes são iguais):
Usando Coulomb,
F_{1}=F_{2}=k\,\frac{|q_3 q_{1}|}{r^{2}}=9{,}0\times10^{9}\cdot\frac{(2\times10^{-6})(5\times10^{-6})}{0{,}0073}.
Calcule o numerador:
(2\times10^{-6})(5\times10^{-6})=10\times10^{-12}=1\times10^{-11}.
Então
F_{1}=F_{2}=9{,}0\times10^{9}\cdot\frac{1\times10^{-11}}{0{,}0073}=\frac{9{,}0\times10^{-2}}{0{,}0073}.
Agora a divisão:
F_{1}=F_{2}\approx 12{,}328767\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente:
F_{1}=F_{2}\approx 12{,}33\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Determinar a direção (componentes) de cada força — decomposição vetorial:
  • Geometria dos vetores (peguei as posições dadas no enunciado e converti para metros como mostrado):
    • Vetor de q_1 para q_3 (posição de q_3 menos posição de q_1):
    \mathbf{r}_{1\to3}=(0{,}08,\;0)- (0,\;0{,}03)=(0{,}08,\;-0{,}03)\\ \mathrm{m}.
    • Vetor de q_2 para q_3:
    \mathbf{r}_{2\to3}=(0{,}08,\;0)-(0,\;-0{,}03)=(0{,}08,\;0{,}03)\\ \mathrm{m}.
Agora as direções das forças:
  • q_1 é positiva e q_3 também; a força sobre q_3 devido a q_1 é repulsiva — ou seja, aponta ao longo de \mathbf{r}_{1\to3} (do q_1 para o q_3), isto é na direção (+x,\;-y).
  • q_2 é negativa e q_3 positiva; a força sobre q_3 devido a q_2 é atrativa — ou seja, aponta do q_3 em direção ao q_2, que é a direção (-x,\;-y) quando referida a q_3, mas é mais fácil usar \mathbf{r}_{3\to2}= -\mathbf{r}_{2\to3}=(-0{,}08,\;-0{,}03). Para consistência vamos expressar cada força como magnitude vezes um versor obtido dividindo \mathbf{r} pelo seu módulo r.
O versor para o vetor que vai do respectivo gerador até q_3 é (para q_1):
\hat{\mathbf{u}}_{1}=\frac{\mathbf{r}_{1\to3}}{r}=\left(\frac{0{,}08}{r},\;\frac{-0{,}03}{r}\right).
Numérico (usando r=0{,}085440037\ldots\\ \mathrm{m}):
\hat{\mathbf{u}}_{1}\approx (0{,}9363,\;-0{,}3511).
Para q_2, a força sobre q_3 aponta de q_3 para q_2, ou seja, na direção -\mathbf{r}_{2\to3}. Podemos tomar o versor
\hat{\mathbf{u}}_{2}=\frac{\mathbf{r}_{3\to2}}{r}=\frac{-\mathbf{r}_{2\to3}}{r}=\left(\frac{-0{,}08}{r},\;\frac{-0{,}03}{r}\right)\approx (-0{,}9363,\;-0{,}3511).
Agora multiplicamos a magnitude F_{1} pelo versor para obter componentes:
  • Componentes de \mathbf{F}_{13} (devido a q_1 sobre q_3):
F_{13,x}=F_{1}\cdot 0{,}9363\approx 12{,}3288\cdot0{,}9363\approx 11{,}54\\ \mathrm{N},
F_{13,y}=F_{1}\cdot(-0{,}3511)\approx 12{,}3288\cdot(-0{,}3511)\approx -4{,}33\\ \mathrm{N}.
  • Componentes de \mathbf{F}_{23} (devido a q_2 sobre q_3):
F_{23,x}=F_{2}\cdot(-0{,}9363)\approx 12{,}3288\cdot(-0{,}9363)\approx -11{,}54\\ \mathrm{N},
F_{23,y}=F_{2}\cdot(-0{,}3511)\approx 12{,}3288\cdot(-0{,}3511)\approx -4{,}33\\ \mathrm{N}.
Observação prática: as componentes x das duas forças têm o mesmo módulo e sinais opostos, então se anulam; as componentes y têm o mesmo sinal (ambas negativas) e se somam.

Passo 6

Somar vetorialmente as componentes para obter a força total:
  • Componente x:
F_{\text{tot},x}=F_{13,x}+F_{23,x}\approx 11{,}54 + (-11{,}54)=0\\ \mathrm{N}.
  • Componente y:
F_{\text{tot},y}=F_{13,y}+F_{23,y}\approx -4{,}33 + (-4{,}33)=-8{,}66\\ \mathrm{N}.
Então o vetor força total é aproximadamente
\mathbf{F}_{\text{tot}}=(0,\;-8{,}66)\\ \mathrm{N},
ou seja, uma força de módulo
|\mathbf{F}_{\text{tot}}|=\sqrt{0^{2}+(-8{,}66)^{2}}=8{,}66\\ \mathrm{N},
apontando no sentido negativo do eixo y (para baixo).

Passo 7

Interpretação física curta (ânimo!): pela simetria, as componentes horizontais se cancelam porque as duas cargas simétricas (uma positiva acima do eixo, outra negativa abaixo) aplicam forças horizontais de mesma intensidade e sentidos opostos sobre a carga no eixo x. As componentes verticais das duas forças somam para baixo, produzindo a força resultante apontando para baixo. Em prova, identificar simetrias como essa salva tempo — ótima pista para usar na hora!

Resposta

\mathbf{F}_{\text{tot}}=(0,\;-8{,}66)\\ \mathrm{N}
\quad (ou F_{\text{tot}}=8{,}66\\ \mathrm{N} dirigida para baixo, ao longo do eixo -y).

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