Um anel de raio a com centro na origem e o eixo sobre o eixo dos
tem uma carga total
. Calcular Ex em
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Temos um anel de raio
, com centro na origem. - O eixo do anel coincide com o eixo dos
(ou seja, o anel está num plano perpendicular ao eixo , centrado em ). - A carga total do anel é
(presume-se distribuição uniforme ao longo do anel). - O que nos pedem: calcular a componente
do campo elétrico nos pontos e .
Nada mais será perguntado — vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Relembrando a lei básica que usamos (aula rápida): a contribuição do campo elétrico produzida por um elemento de carga
no ponto em questão, segundo a lei de Coulomb, tem magnitude
onde
é a permissividade do vácuo e
é a distância entre o elemento
e o ponto onde estamos calculando o campo. O vetor campo aponta ao longo da reta que une o elemento ao ponto (para
, aponta afastando-se do elemento).
Passo 3
Geometria e simetria (muito importante): coloque o ponto onde queremos o campo sobre o eixo
, em coordenada
. Um elemento do anel pode ser parametrizado por um ângulo
, com coordenadas
A distância do elemento ao ponto
é a mesma para todo o anel:
Por simetria, as componentes transversais (em
e
) do campo produzido por elementos opostos do anel se cancelam. Portanto sobra apenas a componente ao longo do eixo
, que chamamos
.
Passo 4
Expressão da carga linear e do elemento de carga: como a carga está uniformemente distribuída ao longo do comprimento do anel
, a densidade linear é
Um pequeno elemento de comprimento do anel é
, então o elemento de carga é
Passo 5
Combinando Coulomb com geometria para a componente axial: a contribuição do elemento
para a componente
do campo é
onde
é o cosseno do ângulo entre o vetor
(do elemento até o ponto) e o eixo
. Pela figura/triângulo retângulo formado,
Assim, usando
, obtemos
Passo 6
Agora integramos ao longo de todo o anel: a dependência angular aparece apenas em
, mas a razão
é constante ao longo do anel (porque
é constante). Logo
A integral de
sobre o anel dá simplesmente a carga total
. Portanto chegamos à fórmula padrão
Observação física: se
e
então
(aponta para +
); se
e
então
(aponta para -
).
Passo 7
Avaliação em
. Substitua
na fórmula:
Interpretação: no centro do anel o campo axial se cancela completamente por simetria.
Passo 8
Avaliação em
. Substitua
na fórmula e faça as contas passo a passo:
Calcule o denominador:
Portanto
Direção: para
e
, o campo aponta no sentido +
.