Um anel de raio a com centro na origem e o eixo sobre o eixo dos x tem uma carga total Q. Calcular Ex em
x=0,2 a

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Temos um anel de raio \,a, com centro na origem.
  • O eixo do anel coincide com o eixo dos x (ou seja, o anel está num plano perpendicular ao eixo x, centrado em x=0).
  • A carga total do anel é \,Q (presume-se distribuição uniforme ao longo do anel).
  • O que nos pedem: calcular a componente E_x do campo elétrico nos pontos x=0 e x=2a.
Nada mais será perguntado — vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Relembrando a lei básica que usamos (aula rápida): a contribuição do campo elétrico produzida por um elemento de carga \,dq no ponto em questão, segundo a lei de Coulomb, tem magnitude
dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r^2},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e \,r é a distância entre o elemento dq e o ponto onde estamos calculando o campo. O vetor campo aponta ao longo da reta que une o elemento ao ponto (para Q>0, aponta afastando-se do elemento).

Passo 3

Geometria e simetria (muito importante): coloque o ponto onde queremos o campo sobre o eixo x, em coordenada (x,0,0). Um elemento do anel pode ser parametrizado por um ângulo \varphi, com coordenadas
(0,\,a\cos\varphi,\,a\sin\varphi).
A distância do elemento ao ponto (x,0,0) é a mesma para todo o anel:
r=\sqrt{x^2+a^2}.
Por simetria, as componentes transversais (em y e z) do campo produzido por elementos opostos do anel se cancelam. Portanto sobra apenas a componente ao longo do eixo x, que chamamos \,E_x.

Passo 4

Expressão da carga linear e do elemento de carga: como a carga está uniformemente distribuída ao longo do comprimento do anel 2\pi a, a densidade linear é
\lambda=\dfrac{Q}{2\pi a}.
Um pequeno elemento de comprimento do anel é dl=a\,d\varphi, então o elemento de carga é
dq=\lambda\,dl=\lambda a\,d\varphi=\dfrac{Q}{2\pi}\,d\varphi.

Passo 5

Combinando Coulomb com geometria para a componente axial: a contribuição do elemento dq para a componente x do campo é
dE_x = dE\cos\theta,
onde \cos\theta é o cosseno do ângulo entre o vetor \vec r (do elemento até o ponto) e o eixo x. Pela figura/triângulo retângulo formado,
\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}.
Assim, usando dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r^2}, obtemos
dE_x=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r^2}\cdot\dfrac{x}{r} =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{x\,dq}{(x^2+a^2)^{3/2}}.

Passo 6

Agora integramos ao longo de todo o anel: a dependência angular aparece apenas em dq, mas a razão \dfrac{x}{(x^2+a^2)^{3/2}} é constante ao longo do anel (porque r é constante). Logo
E_x=\int dE_x =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{x}{(x^2+a^2)^{3/2}}\int dq.
A integral de dq sobre o anel dá simplesmente a carga total Q. Portanto chegamos à fórmula padrão
\boxed{E_x(x)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,x}{(x^2+a^2)^{3/2}}.}
Observação física: se Q>0 e x>0 então E_x>0 (aponta para + x); se Q>0 e x<0 então E_x<0 (aponta para - x).

Passo 7

Avaliação em x=0. Substitua x=0 na fórmula:
E_x(0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\cdot 0}{(0^2+a^2)^{3/2}}=0.
Interpretação: no centro do anel o campo axial se cancela completamente por simetria.

Passo 8

Avaliação em x=2a. Substitua x=2a na fórmula e faça as contas passo a passo:
E_x(2a)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\,(2a)}{\big((2a)^2+a^2\big)^{3/2}}.
Calcule o denominador:
(2a)^2+a^2=4a^2+a^2=5a^2,
(5a^2)^{3/2}=5^{3/2}\,a^3=5\sqrt{5}\,a^3.
Portanto
E_x(2a)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2Q a}{5^{3/2} a^3} =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2Q}{5^{3/2}\,a^2} =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2Q}{5\sqrt{5}\,a^2}.
Direção: para Q>0 e x=2a>0, o campo aponta no sentido + x.

Resposta

E_x(0)=0.
E_x(2a)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2Q}{5\sqrt{5}\,a^2} (apontando para +\hat{x} se Q>0).

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