Uma carga q encontra-se em equilíbrio exatamente a meia distância entre duas outras cargas Q fixas e distantes d uma da outra. Afastando q de uma distância x ll d perpendicularmente à linha que une as cargas Q, mostre que ela oscila determinando sua frequência. Sugestão: escreva a foça resultante em q e mostre que ela é da forma - k x, ou seja, da mesma forma que a de um oscildor harmônico.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas cargas iguais fixas separadas por uma distância . No meio, a carga fica em equilíbrio. Aí a gente desloca essa uma miudeza no sentido perpendicular à linha que une as .
Conteúdo: eletrostática (Lei de Coulomb e superposição de forças) e pequenas oscilações (aproximação de Taylor). Vamos usar a fórmula da força de Coulomb, decompor componentes e fazer a expansão para .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a força resultante em F = k,Q,qr^2, quando ela está deslocada em Fy = F;xr = k,Q,qr^2;xr = k,Q,q,xr^3 ao longo do eixo Frm res = -2,k,Q,q,xr^3 .
  • Cada carga atrai (ou repele) com módulo
onde e é a constante eletrostática.
  • A componente ao longo de (restauradora) de cada força vale
Como há duas cargas , a força total em é
O sinal “ ” mostra que é força de restauração (para ).

Passo 3

Agora fazemos a expansão para r = raizl(tfrac d2r)^2 + x^2 = d2raiz1 + 4x^2d^2 approx d2l(1 + 124x^2d^2r) . Note que
r^3 approx l( d2r)^3l(1 + 6x^2d^2r) Longrightarrow 1r^3approx 8d^3l(1 - 6x^2d^2r)
e, então,
Frm res approx -2,k,Q,q,x;8d^3 = -16,k,Q,qd^3;x
Pegando só o termo linear em krm eff = 16,k,Q,qd^3 , temos
Pronto: é da forma , com

Passo 4

Como o movimento obedece
m,ddot x = -krm eff,x,
ele é harmônico com pulsação
omega = raizkrm effm = raiz16,k,Q,qm,d^3
A frequência (em Hz) é
f = omega2pi = 12piraiz16,k,Q,qm,d^3

Resposta

A carga boxed omega = raiz16,k,Q,qm,d^3 oscila harmonicamente com pulsação
boxed f = 12piraiz16,k,Q,qm,d^3
e frequência

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