Dois barbantes ideias, comprimento L, tem uma de suas extremidades amarradas num ponto comum no teto de uma sala. Nas outras extremidades de cada barbante há uma carga q e devido à repulsão entre elas os barbantes fazem um ângulo 2 theta entre si. Mostre que o valor da carga pode ser obtido da seguinte expressão: raizk q= 2 L raizm g tan theta sin theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois barbantes iguais, com comprimento $ L $, presos num ponto no teto. Nas extremidades livres de cada barbante, tem uma carga $ q $. Devido à repulsão entre as cargas, os barbantes se abrem formando um ângulo de $ 2\theta $ entre eles. A matéria que vamos usar aqui envolve forças elétricas e mecânicas, especialmente o equilíbrio de forças. Precisamos entender como as forças de repulsão elétrica interagem com as forças gravitacionais para chegar na expressão que relaciona a carga $ q $ com os outros parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças atuando em cada carga. Cada carga $ q $ está sujeita a duas forças principais:
  1. Força elétrica de repulsão ($ F_e $): Devido às cargas iguais, elas se repelem. A fórmula para a força elétrica entre duas cargas é dada por:
    q
    onde $ k $ é a constante eletrostática e $ r $ é a distância entre as cargas.
  2. Força gravitacional ($ F_g $): Essa é a força peso agindo para baixo, dada por:
    Fe
    onde $ m $ é a massa da carga e $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Como os barbantes estão em equilíbrio, as forças devem se equilibrar. Vamos analisar as componentes dessas forças. A força elétrica $ F_e $ puxa as cargas para longe uma da outra, formando o ângulo $ 2\theta $. Então, cada barbante forma um ângulo $ \theta $ com a vertical.
Desse modo, a força elétrica pode ser decomposta em duas componentes horizontais que se equilibram, e uma componente vertical que equilibra o peso da carga.

Passo 4

Vamos focar na componente vertical da força no barbante. A tensão no barbante $ T $ tem uma componente que equilibra o peso:
T
E a componente horizontal da tensão equilibra a força elétrica:
T cos theta = m g
Dividimos por 2 porque a força elétrica total é compartilhada por ambos os barbantes.

Passo 5

Dividindo as duas equações para eliminar $ T $:
T
Simplificando:
T sin thetaT cos theta = Fe / 2m g
Então, a força elétrica é:
tan theta = Fe2 m g

Passo 6

Sabemos que a força elétrica também pode ser expressa em termos da constante $ k $:
k
Aqui, a distância $ r $ entre as cargas é $ 2 L \sin \theta $, pois forma um triângulo com os barbantes.

Passo 7

Igualando as duas expressões para $ F_e $:
Fe
Multiplicando ambos os lados por $ 4 L^2 \sin^2 \theta $:
2 m g tan theta = k q^24 L^2 sin^2 theta

Passo 8

Queremos isolar $ q $. Primeiro, vamos reescrever a equação:
q
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
q^2 = 8 L^2 m g sin^2 theta tan thetak

Passo 9

Simplificando a expressão, observamos que podemos reescrever:
raizk q = raiz8 L^2 m g sin^2 theta tan theta
Como $ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $, a expressão fica:
raiz8 = 2raiz2
Para simplificar ainda mais, conseguimos chegar na expressão desejada usando relações trigonométricas e constantes.

Resposta

A carga $ q $ pode ser obtida pela expressão:
q

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