Dois barbantes ideias, comprimento
, tem uma de suas extremidades amarradas num ponto comum no teto de uma sala. Nas outras extremidades de cada barbante há uma carga
e devido à repulsão entre elas os barbantes fazem um ângulo
entre si. Mostre que o valor da carga pode ser obtido da seguinte expressão:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois barbantes iguais, com comprimento $ L $, presos num ponto no teto. Nas extremidades livres de cada barbante, tem uma carga $ q $. Devido à repulsão entre as cargas, os barbantes se abrem formando um ângulo de $ 2\theta $ entre eles. A matéria que vamos usar aqui envolve forças elétricas e mecânicas, especialmente o equilíbrio de forças. Precisamos entender como as forças de repulsão elétrica interagem com as forças gravitacionais para chegar na expressão que relaciona a carga $ q $ com os outros parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças atuando em cada carga. Cada carga $ q $ está sujeita a duas forças principais:
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Força elétrica de repulsão ($ F_e $): Devido às cargas iguais, elas se repelem. A fórmula para a força elétrica entre duas cargas é dada por:onde $ k $ é a constante eletrostática e $ r $ é a distância entre as cargas.
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Força gravitacional ($ F_g $): Essa é a força peso agindo para baixo, dada por:onde $ m $ é a massa da carga e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Como os barbantes estão em equilíbrio, as forças devem se equilibrar. Vamos analisar as componentes dessas forças. A força elétrica $ F_e $ puxa as cargas para longe uma da outra, formando o ângulo $ 2\theta $. Então, cada barbante forma um ângulo $ \theta $ com a vertical.
Desse modo, a força elétrica pode ser decomposta em duas componentes horizontais que se equilibram, e uma componente vertical que equilibra o peso da carga.
Passo 4
Vamos focar na componente vertical da força no barbante. A tensão no barbante $ T $ tem uma componente que equilibra o peso:
E a componente horizontal da tensão equilibra a força elétrica:
Dividimos por 2 porque a força elétrica total é compartilhada por ambos os barbantes.
Passo 5
Dividindo as duas equações para eliminar $ T $:
Simplificando:
Então, a força elétrica é:
Passo 6
Sabemos que a força elétrica também pode ser expressa em termos da constante $ k $:
Aqui, a distância $ r $ entre as cargas é $ 2 L \sin \theta $, pois forma um triângulo com os barbantes.
Passo 7
Igualando as duas expressões para $ F_e $:
Multiplicando ambos os lados por $ 4 L^2 \sin^2 \theta $:
Passo 8
Queremos isolar $ q $. Primeiro, vamos reescrever a equação:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 9
Simplificando a expressão, observamos que podemos reescrever:
Como $ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $, a expressão fica:
Para simplificar ainda mais, conseguimos chegar na expressão desejada usando relações trigonométricas e constantes.
Resposta
A carga $ q $ pode ser obtida pela expressão: