1.3 Se uma carga q_{1} está localizada no ponto \vec{r}_{1} e uma carga q_{2} está localizada no ponto \vec{r}_{2}, escreva o vetor força da carga 1 sobre a carga 2 em termos dessas quatro quantidades e da constante \epsilon_{0}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas cargas pontuais, q_{1} em \vec{r}_{1} e q_{2} em \vec{r}_{2}, e pede o vetor força que a carga 1 exerce sobre a carga 2. O conteúdo é eletrostática, especificamente a lei de Coulomb, e vamos precisar usar o campo elétrico gerado por uma carga pontual e depois a relação \vec{F}=q\,\vec{E}.

Passo 2

Primeiro definimos o vetor posição relativo de 1 até 2:
\vec{r}_{21} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}.
A distância entre as cargas é \bigl\lvert \vec{r}_{21}\bigr\rvert.

Passo 3

O campo elétrico gerado por q_{1} no ponto \vec{r}_{2} vale, pela lei de Coulomb,
\vec{E}(\vec{r}_{2}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;q_{1}\;\frac{\vec{r}_{21}}{\bigl\lvert \vec{r}_{21}\bigr\rvert^{3}}.

Passo 4

A força sobre a carga q_{2} é
\vec{F}_{1\to2} = q_{2}\,\vec{E}(\vec{r}_{2}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;q_{1}\,q_{2}\;\frac{\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}}{\bigl\lvert \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\bigr\rvert^{3}}.

Resposta

\boxed{\vec{F}_{1\to2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\;q_{1}\,q_{2}\;\frac{\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}}{\bigl\lvert \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\bigr\rvert^{3}}.}

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