1.4 Discuta sobre a conservação da carga.

Passo 1

O enunciado pede uma discussão sobre a conservação da carga elétrica. Esse é um tópico de eletromagnetismo que envolve entender o que é carga, por que ela não é criada nem destruída e como isso se traduz em uma lei local (equação de continuidade) e global (carga total constante). Vamos usar conceitos de densidade volumétrica de carga \rho, densidade de corrente \mathbf{J} e a equação de continuidade.

Passo 2

Primeiro, definimos a carga elétrica como uma propriedade física fundamental quantizada em múltiplos de e (carga do elétron). A densidade volumétrica de carga \rho(\mathbf{r},t) mede quanto de carga existe por unidade de volume num ponto \mathbf{r} no instante t. Já a densidade de corrente \mathbf{J}(\mathbf{r},t) indica o fluxo de carga por área por unidade de tempo.

Passo 3

O princípio da conservação da carga diz que, em um sistema isolado, a quantidade total de carga elétrica permanece constante ao longo do tempo. Em linguagem global, se definirmos a carga total em um volume V como
Q(t) = \int_{V} \rho(\mathbf{r},t)\,dV,
então não há geração nem desaparecimento de carga, apenas redistribuição.

Passo 4

Para expressar isso localmente, usamos a equação de continuidade, que relaciona a variação temporal de \rho com o divergente de \mathbf{J}. Partindo do fato de que a carga que sai de V atravessa a fronteira \partial V, temos
-\frac{dQ}{dt} \;=\; \oint_{\partial V}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}.
Pelo teorema da divergência, isso vira
-\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV \;=\;\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{J}\,dV.
Como V é arbitrário, obtemos a equação de continuidade em forma local:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot\mathbf{J} \;=\;0.

Passo 5

Essa equação mostra que qualquer diminuição de carga numa região \partial\rho/\partial t<0 corresponde a saída de corrente \nabla\cdot\mathbf{J}>0, e vice-versa. Ela garante que não há “fonte” nem “sumidouro” de carga: onde a densidade muda, é porque a carga se deslocou. Nas equações de Maxwell, a conservação da carga está implícita na forma como a corrente deslocamento \varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t corrige a lei de Ampère, mantendo \nabla\cdot\bigl(\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t\bigr)=0.

Resposta

A conservação da carga elétrica afirma que a carga total de um sistema isolado permanece constante. Localmente, esse princípio se traduz na equação de continuidade
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot\mathbf{J} = 0,
que garante que toda variação de densidade de carga corresponde a um fluxo de corrente, impossibilitando a criação ou destruição espontânea de carga.

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