Uma carga
está na origem de um sistema de coordenadas
. Uma carga
está sobre o eixo
em
e uma carga
está posicionada em um ponto com as coordenadas
e
. Determine o módulo, a direção e o sentido da força e do campo elétrico resultante sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você me enviou! Temos três cargas elétricas:
- Uma carga $ q_1 = -25,nC $ está na origem do sistema de coordenadas $ xy $.
- Uma carga $ q_2 = -3,nC $ está no eixo $ x $ em $ x = 2,m $.
- E uma carga $ q_0 = 2,nC $ está no ponto com coordenadas $ x = 2,m $ e $ y = 2,m $.
Nosso objetivo aqui é determinar o módulo, a direção e o sentido da força e do campo elétrico resultante sobre a carga $ q_0 $. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do campo elétrico gerado por uma carga pontual e a Lei de Coulomb para calcular as forças envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico ($ \vec{E} $) gerado por uma carga pontual. A fórmula que usamos é:
Onde:
- $ k = 8,99 \times 10^9,N·m²/C² $ é a constante eletrostática.
- $ q $ é a carga que está gerando o campo.
- $ r $ é a distância entre a carga $ q $ e o ponto onde estamos calculando o campo.
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário que aponta da carga $ q $ para o ponto onde estamos calculando o campo.
No nosso caso, vamos calcular o campo elétrico em $ q_0 $ devido a $ q_1 $ e $ q_2 $, e depois somar esses campos vetorialmente para encontrar o campo total.
Passo 3
Vamos começar calculando o campo elétrico gerado por $ q_1 $ em $ q_0 $.
As coordenadas de $ q_1 $ são $ (0,0) $ e as de $ q_0 $ são $ (2,m, 2,m)
r_1 $) é:
O vetor que aponta de $ q_1 $ para $ q_0 $ é:
O vetor unitário $ \hat{r}_1 $ é esse vetor dividido pela sua magnitude:
Agora, calculamos $ \vec{E}_1 $:
Fazendo as contas:
Então:
Passo 4
Agora vamos calcular o campo elétrico gerado por $ q_2 $ em $ q_0 $.
As coordenadas de $ q_2 $ são $ (2,m, 0) $ e as de $ q_0 $ são $ (2,m, 2,m)
r_2 $) é:
O vetor que aponta de $ q_2 $ para $ q_0 $ é:
O vetor unitário $ \hat{r}_2 $ é esse vetor dividido pela sua magnitude:
Agora, calculamos $ \vec{E}_2 $:
Fazendo as contas:
Então:
Passo 5
Agora que temos os campos elétricos de $ q_1 $ e $ q_2 $ em $ q_0
\vec{E}_{total} $):
Passo 6
Agora, vamos calcular a força elétrica ($ \vec{F} $) sobre $ q_0 $ usando a relação $ \vec{F} = q_0 \vec{E}_{total} $:
Então:
Passo 7
Para encontrar o módulo do campo elétrico total, usamos:
E para a direção, calculamos o ângulo $ \theta $ em relação ao eixo $ x $:
A direção está no terceiro quadrante, já que ambos os componentes $ x $ e $ y $ são negativos.
Resposta
O campo elétrico resultante sobre $ q_0 $ tem módulo de aproximadamente $ 30,15,N/C $, direcionado a $ 54,46^\circ $ abaixo do eixo $ x $ (no terceiro quadrante). A força resultante sobre $ q_0 $ é de aproximadamente $ 35,36,nN $ para a esquerda (negativo no eixo $ x $) e $ 48,85,nN $ para baixo (negativo no eixo $ y $).