Uma carga q1=2 mu C está localizada em x=0, e uma carga q2=-8 mu C está localizada em x=L. (a) O campo elétrico será nulo em um ponto entre as cargas, à esquerda da carga q1, ou à direita da carga q2 ? (b) O ponto onde o campo é nulo fica mais perto de qual carga? © Calcule a posição onde o campo é nulo em termos de L. Justifique as respostas dos itens (a) e (b).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas cargas na reta x:
  • q₁ = +2 μC em x = 0
  • q₂ = –8 μC em x = L
O assunto aqui é campo elétrico gerado por cargas pontuais e o princípio da superposição. Pra resolver, a gente vai usar:
  1. Fórmula do campo de uma carga pontual: E = k,qr^2 onde k = 9×10⁹ N·m²/C², q é a carga e r a distância até o ponto.
  2. Saber que o campo de carga positiva “empurra” (vetor sai da carga) e o de carga negativa “puxa” (vetor entra na carga).
  3. Superpor (somar vetorialmente) os campos de q₁ e q₂ e ver onde a soma é zero.

Passo 2

Vamos dividir a reta em três regiões e checar em quais delas os campos de q₁ e q₂ apontam em direções opostas (pra poderem se anular):
  • Região A: x < 0 (à esquerda de q₁)
  • Região B: 0 < x < L (entre as cargas)
  • Região C: x > L (à direita de q₂)
Pra cada região, anotamos o sentido de E₁ (devido a q₁) e de E₂ (devido a q₂).

Passo 3

Sentidos dos campos em cada região:
  • Região A (x<0):
    • E₁ (q₁>0) em x<0 aponta para a esquerda.
    • E₂ (q₂<0) em x<0 aponta para a direita (porque as linhas vão em direção à carga negativa).
    ⇒ E₁ e E₂ são opostos ⇒ pode ter anulação.
  • Região B (0<x<L):
    • E₁ (q₁>0) em 0<x<L aponta para a direita.
    • E₂ (q₂<0) em 0<x<L aponta para a esquerda.
    ⇒ também são opostos ⇒ pode anular.
  • Região C (x>L):
    • E₁ (q₁>0) em x>L aponta para a direita.
    • E₂ (q₂<0) em x>L aponta para a esquerda.
    ⇒ opostos de novo! (atenção: no caso de cargas de mesmo sinal algumas regiões dão vetores no mesmo sentido, mas aqui, por sinais opostos, sempre ficam opostos em A, B e C).
Na prática a gente vai montar a equação E₁ + E₂ = 0 em A, B e C e ver onde surge solução física (distância positiva dentro da região).

Passo 4

Região B (0<x<L):
  • Distância de q₁ até o ponto: r₁ = x
  • Distância de q₂ até o ponto: r₂ = L – x
  • Módulos:
    E₁ = k·(2 μC)/x², para a direita
    E₂ = k·(8 μC)/(L–x)², para a esquerda
Pra anular, igualamos magnitudes:
2x^2 = 8(L - x)^2
Simplificando:
(L - x)^2x^2 = 82 = 4 Longrightarrow L - xx = 2 Longrightarrow L - x = 2x Longrightarrow 3x = L Longrightarrow x = L3
Essa solução fica mesmo entre 0 e L (porque L/3 < L).

Passo 5

Região A (x<0): escrevemos x = –d, com d>0.
  • r₁ = d
  • r₂ = L + d
  • E₁ módulo = k·2/(d²) (para a esquerda)
  • E₂ módulo = k·8/((L+d)²) (para a direita)
Igualando:
2d^2 = 8(L + d)^2 ;Longrightarrow; (L + d)^2d^2 = 4 ;Longrightarrow; L + d = 2d ;Longrightarrow; d = L ;Longrightarrow; x = -L
Isso é um ponto à esquerda de q₁ (x = –L).

Passo 6

Região C (x>L): definimos x = L + d, d>0, e faríamos o mesmo. Mas ao resolver dá uma relação impossível (d negativo) ou a anulação não cabe fisicamente, então não existe zero em C.

Passo 7

Vamos responder cada item do enunciado:
(a) O campo elétrico se anula em dois pontos: um ponto entre as cargas (x = L/3) e outro à esquerda de q₁ (x = –L). Não há solução à direita de q₂.
(b) Dos dois pontos, o que fica mais perto de alguma carga é a solução entre elas, x = L/3, e esse ponto está mais próximo de q₁ (distância L/3 de q₁ versus 2L/3 de q₂).
© A posição (no segmento entre as cargas) é
x = L3

Resposta

  • (a) Duas soluções: uma entre as cargas e outra à esquerda de q₁; nenhuma à direita de q₂.
  • (b) O ponto entre as cargas fica mais perto de q₁.
  • © x = L/3.

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