No sistema solar, uma partícula está sujeita à influência combinada da atração gravitacional do Sol e da força devida à pressão da radiação solar. Suponha que a partícula é uma esfera com massa específica de 1,0 times 10^3 kgm^3 e que toda a luz incidente é absorvida. (a) Mostre que, se o raio da partícula for menor que certo raio crítico, r crit , a partícula será ejetada para fora do sistema solar. (b) Determine o valor do raio crítico. Dados: M=1,99 times 10^30 kg e P=3,90 times 10^26 W.

Passo 1

Resumo do enunciado: uma partícula esférica de densidade sofre atração gravitacional do Sol (massa ) e repulsão pela pressão de radiação (potência solar ). Mostraremos que, se o raio da partícula for menor que um certo , a força de radiação vence a gravitacional e a partícula é ejectada.
Conteúdo:
  • Lei da gravitação universal ( ).
  • Pressão de radiação ( área da partícula).
  • Massa de uma esfera .
    O que precisamos: expressar as duas forças, igualá-las e achar .

Passo 2

Calcular a força gravitacional sobre a partícula:
A massa da partícula é
m=43pi r^3rho
Pela lei de Newton,
Frm grav =G,M,mD^2 =G,MD^2;43pi r^3rho

Passo 3

Calcular a força devida à pressão de radiação:
A irradiância solar a distância Frm rad =P4pi D^2,c;pi r^2 =P,r^24,c,D^2 é .
Como toda luz é absorvida, a pressão é e a área de projeção da esfera é :

Passo 4

Determinar P,r^24c,D^2 = G,MD^2;43pi r^3rho igualando P4c;r^2 =43pi G,M,rho;r^3 Longrightarrow rrm crit = P 4c ;/; 43pi G,M,rho =3P16pi,c,G,M,rho :
[
\frac{P,r2}{4c,D2}

\frac{G,M}{D^2};\frac{4}{3}\pi r^3\rho.
]
Cancelamos e isolamos :

Passo 5

Substituindo valores numéricos:
rrm crit =3times3,90times10^26 16pitimes(3,00times10^8)times(6,67times10^-11) times(1,99times10^30)times(1,0times10^3);m
Calculando, dá aproximadamente
rrm critapprox6times10^-7;m

Resposta

Se , a pressão de radiação excede a atração gravitacional e a partícula é ejectada do sistema solar.

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