1. Uma carga + Qocupa cada vértice de um quadrado de lado a. Uma quinta carga qé colocada no centro. Determine o valor e o sinal de q para que uma das cargas dos vértices permaneça em equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (sem resolver nada ainda):
  • Quatro cargas idênticas +Q ocupam os quatro vértices de um quadrado de lado a.
  • Uma quinta carga q é colocada no centro do quadrado.
  • A pergunta: determinar o valor e o sinal de q para que uma das cargas dos vértices permaneça em equilíbrio (isto é, a força resultante sobre essa carga seja nula).
Informações geométricas úteis (que vêm do enunciado):
  • Distâncias entre vértices adjacentes: a.
  • Distância entre vértices opostos (diagonal do quadrado): a\sqrt{2}.
  • Distância do centro do quadrado a um vértice: \dfrac{a}{\sqrt{2}}.

Passo 2

Escolher um vértice para analisar (por simetria qualquer vértice dá o mesmo resultado). Coloco coordenadas para ficar concreto:
  • Centro do quadrado em (0,0).
  • Vértices em \bigl(\pm\dfrac{a}{2},\pm\dfrac{a}{2}\bigr).
    Escolho a carga que está em A=\bigl(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\bigr). As outras cargas +Q estão em:
  • B (vizinha à esquerda): \bigl(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\bigr) — distância até A igual a a.
  • C (vizinha embaixo): \bigl(\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\bigr) — distância até A igual a a.
  • D (oposta): \bigl(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2}\bigr) — distância até A igual a a\sqrt{2}.
    A carga central q está em O=(0,0), distância até A igual a \dfrac{a}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Condição de equilíbrio: a força elétrica resultante sobre a carga em A deve ser nula, ou seja a soma vetorial das forças produzidas pelas outras cargas (três +Q dos vértices e q no centro) deve dar o vetor nulo.
A lei de Coulomb (forma que vamos usar): para duas cargas puntuais Q_1 e Q_2 separadas por distância r, a força de Q_2 sobre Q_1 tem módulo
F = k\frac{|Q_1 Q_2|}{r^2},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. A direção é ao longo da reta que une as cargas; sentido de repulsão se sinais iguais e de atração se sinais opostos. Aqui vamos manter o fator k simbólico e no final ele cancela.
Calcular módulos das forças que atuam em A:
  • Força devido à carga de B (vizinha à esquerda), distância r_1=a:
F_{\text{lado}} = k\frac{Q^2}{a^2}.
Direção: para a esquerda (componente somente em x negativa).
  • Força devido à carga de C (vizinha embaixo), distância r_2=a:
F_{\text{lado}} = k\frac{Q^2}{a^2}.
Direção: para baixo (componente somente em y negativa).
  • Força devido à carga oposta D, distância r_3=a\sqrt{2}:
F_{\text{diag}} = k\frac{Q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k\frac{Q^2}{2a^2}.
Direção: ao longo da diagonal para baixo-esquerda, ou seja com ângulo de 45^\circ em relação aos eixos (componentes iguais em x e y, ambas negativas).
  • Força devido à carga central q, distância r_c=\dfrac{a}{\sqrt{2}}:
F_{c} = k\frac{Q|q|}{r_c^2} = k\frac{Q|q|}{(a/\sqrt{2})^2} = k\frac{2Q|q|}{a^2}.
Direção: se q for negativo (sinais opostos), a força sobre +Q em A é de atração, isto é, para o centro (direção para baixo-esquerda); se q for positivo, é repulsiva, para fora do centro (direção para cima-direita). No tratamento vetorial abaixo vamos manter o sinal de q na equação, de modo que a direção correta aparece automaticamente.

Passo 4

Agora decompomos as forças em componentes x e y. Pelo enunciado e pela escolha de A, as componentes em x e y terão a mesma equação por simetria; basta fazer a soma das componentes em x e impor que seja zero (o mesmo vale para y).
Componentes em x (com sinais indicados, positivo para a direita):
  • F_{\text{lado}} (de B) aponta para a esquerda, então sua componente em x é
F_{B,x} = -k\frac{Q^2}{a^2}.
  • F_{\text{lado}} (de C) não tem componente em x:
F_{C,x}=0.
  • F_{\text{diag}} (de D) tem direção a 45^\circ para down-left, então sua componente em x é
F_{D,x} = -F_{\text{diag}}\cos 45^\circ = -\left(k\frac{Q^2}{2a^2}\right)\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{kQ^2}{2a^2\sqrt{2}}.
  • F_{c} (de q no centro): o vetor vai ao longo da diagonal centro→ A (para cima-direita) ou A→centro (para baixo-esquerda). Usando a forma vetorial com o sinal de q, a componente em x é
F_{q,x} = -\left(2k\frac{Qq}{a^2}\right)\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2kQq}{a^2\sqrt{2}}.
Aqui mantemos q com sinal: se q<0 então F_{q,x} é negativo (direção para esquerda), se q>0 então F_{q,x} é positivo (direção para direita). A expressão já leva em conta o vetor unitário (-1,-1)/\sqrt{2} vindo da posição de A em relação ao centro.
Somando as componentes em x e impondo equilíbrio (soma igual a zero):
F_{B,x}+F_{D,x}+F_{q,x}=0.

Passo 5

Escrever a soma explicitamente e resolver para q. Substituindo as expressões encontradas:
-\frac{kQ^2}{a^2} -\frac{kQ^2}{2a^2\sqrt{2}} -\frac{2kQq}{a^2\sqrt{2}} = 0.
Multiplicar ambos os lados por \dfrac{a^2}{k} para simplificar:
- Q^2 - \frac{Q^2}{2\sqrt{2}} - \frac{2Qq}{\sqrt{2}} = 0.
Passo para isolar q: mover os termos do lado esquerdo menos o termo com q para o outro lado:
\frac{2Qq}{\sqrt{2}} = -Q^2 - \frac{Q^2}{2\sqrt{2}}.
Multiplicar por \dfrac{\sqrt{2}}{2Q}:
q = -\frac{Q}{2}\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right).
Podemos deixar em formas equivalentes mais simpáticas. Expandindo:
q = -Q\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4}\right).
Outra forma racionalizada (única fração):
q = -Q\frac{4+\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}.

Passo 6

Interpretação do resultado:
  • O sinal de q é negativo: q<0. Isso faz sentido fisicamente: para anular a forte repulsão das cargas positivas dos vértices, o centro tem de exercer uma atração sobre a carga em A, o que requer q de sinal oposto a +Q.
  • Valor relativo: numericamente,
\frac{q}{Q} = -\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4}\right) \approx -0,9571.
Ou seja, a carga central deve ser negativa com módulo um pouco menor que Q (aprox 0{,}957\,Q) para manter a carga do vértice em equilíbrio.

Resposta

q = -Q\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{4}\right)

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