- Uma carga + Qocupa cada vértice de um quadrado de lado
. Uma quinta carga qé colocada no centro. Determine o valor e o sinal de
para que uma das cargas dos vértices permaneça em equilíbrio.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (sem resolver nada ainda):
- Quatro cargas idênticas
ocupam os quatro vértices de um quadrado de lado . - Uma quinta carga
é colocada no centro do quadrado. - A pergunta: determinar o valor e o sinal de
para que uma das cargas dos vértices permaneça em equilíbrio (isto é, a força resultante sobre essa carga seja nula).
Informações geométricas úteis (que vêm do enunciado):
- Distâncias entre vértices adjacentes:
. - Distância entre vértices opostos (diagonal do quadrado):
. - Distância do centro do quadrado a um vértice:
.
Passo 2
Escolher um vértice para analisar (por simetria qualquer vértice dá o mesmo resultado). Coloco coordenadas para ficar concreto:
- Centro do quadrado em
. - Vértices em
.
Escolho a carga que está em. As outras cargas estão em: - B (vizinha à esquerda):
— distância até igual a . - C (vizinha embaixo):
— distância até igual a . - D (oposta):
— distância até igual a .
A carga centralestá em , distância até igual a .
Passo 3
Condição de equilíbrio: a força elétrica resultante sobre a carga em
deve ser nula, ou seja a soma vetorial das forças produzidas pelas outras cargas (três
dos vértices e
no centro) deve dar o vetor nulo.
A lei de Coulomb (forma que vamos usar): para duas cargas puntuais
e
separadas por distância
, a força de
sobre
tem módulo
onde
. A direção é ao longo da reta que une as cargas; sentido de repulsão se sinais iguais e de atração se sinais opostos. Aqui vamos manter o fator
simbólico e no final ele cancela.
Calcular módulos das forças que atuam em
:
- Força devido à carga de B (vizinha à esquerda), distância
:
Direção: para a esquerda (componente somente em
negativa).
- Força devido à carga de C (vizinha embaixo), distância
:
Direção: para baixo (componente somente em
negativa).
- Força devido à carga oposta D, distância
:
Direção: ao longo da diagonal para baixo-esquerda, ou seja com ângulo de
em relação aos eixos (componentes iguais em
e
, ambas negativas).
- Força devido à carga central
, distância :
Direção: se
for negativo (sinais opostos), a força sobre
em
é de atração, isto é, para o centro (direção para baixo-esquerda); se
for positivo, é repulsiva, para fora do centro (direção para cima-direita). No tratamento vetorial abaixo vamos manter o sinal de
na equação, de modo que a direção correta aparece automaticamente.
Passo 4
Agora decompomos as forças em componentes
e
. Pelo enunciado e pela escolha de
, as componentes em
e
terão a mesma equação por simetria; basta fazer a soma das componentes em
e impor que seja zero (o mesmo vale para
).
Componentes em
(com sinais indicados, positivo para a direita):
-
(de B) aponta para a esquerda, então sua componente em é
-
(de C) não tem componente em :
-
(de D) tem direção a para down-left, então sua componente em é
-
(de no centro): o vetor vai ao longo da diagonal centro→ (para cima-direita) ou →centro (para baixo-esquerda). Usando a forma vetorial com o sinal de , a componente em é
Aqui mantemos
com sinal: se
então
é negativo (direção para esquerda), se
então
é positivo (direção para direita). A expressão já leva em conta o vetor unitário
vindo da posição de
em relação ao centro.
Somando as componentes em
e impondo equilíbrio (soma igual a zero):
Passo 5
Escrever a soma explicitamente e resolver para
. Substituindo as expressões encontradas:
Multiplicar ambos os lados por
para simplificar:
Passo para isolar
: mover os termos do lado esquerdo menos o termo com
para o outro lado:
Multiplicar por
:
Podemos deixar em formas equivalentes mais simpáticas. Expandindo:
Outra forma racionalizada (única fração):
Passo 6
Interpretação do resultado:
- O sinal de
é negativo: . Isso faz sentido fisicamente: para anular a forte repulsão das cargas positivas dos vértices, o centro tem de exercer uma atração sobre a carga em , o que requer de sinal oposto a . - Valor relativo: numericamente,
Ou seja, a carga central deve ser negativa com módulo um pouco menor que
(aprox
) para manter a carga do vértice em equilíbrio.