1. Três esferas idênticas possuem cargas Q_{A}=+48 \mu, Q_{B}=0 e Q_{C}=0. A toca B e depois toca C. As três esferas são então colocadas sobre uma mesma reta, separadas por 50 cm . Determine a força resultante sobre a esfera C.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Três esferas idênticas, inicialmente com cargas:
    • Q_A = +48\\ \mu\text{C}
    • Q_B = 0
    • Q_C = 0
  • A sequência de contatos: A toca B e depois A toca C.
  • Depois as três esferas são colocadas sobre uma mesma reta, separadas por 50\\ \text{cm}.
  • O que se pede: determinar a força resultante sobre a esfera C (magnitude e direção).

Passo 2

Conservação de carga e repartição em condutores idênticos ao toque.
Quando duas esferas condutoras idênticas tocam, as cargas se redistribuem igualmente entre elas (porque têm a mesma capacidade/área). Além disso, a carga total se conserva.
Primeiro contato: A (com +48\\ \mu\text{C}) toca B (com 0).
Q_A' = Q_B' = \frac{Q_A + Q_B}{2} = \frac{48\\ \mu\text{C} + 0}{2} = 24\\ \mu\text{C}.
Após esse primeiro toque, as cargas são:
  • Q_A = 24\\ \mu\text{C},
  • Q_B = 24\\ \mu\text{C},
  • Q_C = 0.

Passo 3

Segundo contato: A (agora com 24\\ \mu\text{C}) toca C (com 0).
Aplicando a mesma ideia:
Q_A'' = Q_C'' = \frac{Q_A + Q_C}{2} = \frac{24\\ \mu\text{C} + 0}{2} = 12\\ \mu\text{C}.
Portanto, cargas finais em cada esfera:
  • Q_A = 12\\ \mu\text{C},
  • Q_B = 24\\ \mu\text{C},
  • Q_C = 12\\ \mu\text{C}.

Passo 4

Configuração geométrica e sinal das forças.
O enunciado diz que as três esferas são colocadas sobre a mesma reta, separadas por 50\\ \text{cm}. O arranjo normalmente entendido é as esferas em linha com espaçamento igual entre vizinhas; assumimos a ordem A B C (da esquerda para a direita), com
AB = BC = 50\\ \text{cm} = 0,5\\ \text{m}.
Logo a distância entre A e C é
AC = 1,0\\ \text{m}.
Todas as cargas finais são positivas, então as forças eletrostáticas entre pares são de repulsão. Para a esfera C (extremo direito):
  • A força devido em B a empurra para a direita (repulsão).
  • A força devido em A também a empurra para a direita (repulsão).
    Portanto as duas contribuições têm a mesma direção (para a direita) e a resultante será a soma das magnitudes.

Passo 5

Lei de Coulomb e conversão de unidades.
A lei de Coulomb dá a magnitude da força entre duas cargas puntiformes (ou esferas suficientemente separadas) como
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde:
  • k = 9{,}0\times 10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2 (constante eletrostática),
  • q_1,q_2 são cargas em coulombs ( \text{C}),
  • r é a distância entre as cargas em metros ( \text{m}).
Converter microcoulombs para coulombs: 1\\ \mu\text{C} = 1\times 10^{-6}\\ \text{C}.
Então as cargas finais em coulombs:
Q_A = 12\\ \mu\text{C} = 12\times 10^{-6}\\ \text{C}, \qquad Q_B = 24\\ \mu\text{C} = 24\times 10^{-6}\\ \text{C}, \qquad Q_C = 12\\ \mu\text{C} = 12\times 10^{-6}\\ \text{C}.

Passo 6

Cálculo da força que B exerce sobre C.
Distância r_{BC} = 0,5\\ \text{m}. Aplicando Coulomb:
F_{BC} = k\,\frac{Q_B\,Q_C}{r_{BC}^2} = 9{,}0\times 10^{9}\,\frac{(24\times 10^{-6})(12\times 10^{-6})}{(0,5)^2}.
Calculemos passo a passo:
(24\times 10^{-6})(12\times 10^{-6}) = 288\times 10^{-12} = 2{,}88\times 10^{-10}.
(0,5)^2 = 0,25.
\frac{2{,}88\times 10^{-10}}{0,25} = 1{,}152\times 10^{-9}.
F_{BC} = 9{,}0\times 10^{9}\times 1{,}152\times 10^{-9} = 10{,}368\\ \text{N}.

Passo 7

Cálculo da força que A exerce sobre C.
Distância r_{AC} = 1{,}0\\ \text{m}. Aplicando Coulomb:
F_{AC} = k\,\frac{Q_A\,Q_C}{r_{AC}^2} = 9{,}0\times 10^{9}\,\frac{(12\times 10^{-6})(12\times 10^{-6})}{(1{,}0)^2}.
Calculemos:
(12\times 10^{-6})^2 = 144\times 10^{-12} = 1{,}44\times 10^{-10}.
r_{AC}^2 = 1{,}0.
F_{AC} = 9{,}0\times 10^{9}\times 1{,}44\times 10^{-10} = 1{,}296\\ \text{N}.

Passo 8

Soma vetorial (resultante) sobre C.
Ambas as forças F_{BC} e F_{AC} atuam para a mesma direção (para a direita), portanto a força resultante em C é a soma das magnitudes:
F_{\text{res}} = F_{BC} + F_{AC} = 10{,}368 + 1{,}296 = 11{,}664\\ \text{N},
direcionada para a direita.

Resposta

11{,}664\\ \text{N} para a direita.

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