P 1.2-5 A carga total q(t)\), em coulombs, que entra em um componente é dada por \[q(t)= \begin{cases}0 & t<0 \\\\ 2 t & 0 \leq t \leq 2 \\\\ 3+e^{-2(t-2)} & t>2\end{cases}
Determine a corrente i(t)\] e plote a corrente em função do tempo para \(t \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá a carga total \,q(t)\, que entra num componente, em coulombs, e pede a corrente \,i(t)=\frac{dq}{dt}\, para t\ge0, além de esboçar o gráfico de \,i(t). Vamos usar a definição de corrente como derivada da carga em função do tempo e aplicar derivação por partes.

Passo 2

Para 0\le t\le2 temos
q(t)=2t.
Derivando em relação a t,
i(t)=\frac{dq}{dt}=\frac{d}{dt}(2t)=2.

Passo 3

Para t>2 temos
q(t)=3+e^{-2(t-2)}.
Derivando em relação a t,
i(t)=\frac{dq}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(3+e^{-2(t-2)}\bigr) =-2\,e^{-2(t-2)}.

Passo 4

Reunindo em forma de função por partes para t\ge0:
i(t)= \begin{cases} 2, & 0\le t\le2,\\\\ -2\,e^{-2(t-2)}, & t>2. \end{cases}

Passo 5

Esboço do gráfico de i(t):
  • Para 0 \le t \le 2, i(t) = 2,A é uma reta horizontal em i = 2.
  • Em t = 2 a corrente salta para -2,A e depois decai exponencialmente segundo -2 e^{-2(t-2)}, aproximando-se de zero quando t \to +\infty.

Resposta

i(t)= \begin{cases} 2, & 0\le t\le2,\\\\ -2\,e^{-2(t-2)}, & t>2. \end{cases}
Gráfico: reta horizontal em i=2 de t=0 a t=2; em seguida, no instante t=2, salto para -2 e decaimento exponencial até zero.

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