P 1.2-3 A corrente em um componente de um circuito é i(t)=4 sen 5 t A para t \geq o e i(t)=0 para t<0. Determine a carga total que entrou no componente até um instante t \geq 0.

Passo 1

O enunciado diz que a corrente em um componente é
i(t)= \begin{cases} 4 \sin(5t)\\ \text{A},&t\ge0,\\\\ 0,&t<0. \end{cases}
E pede a carga total q(t) que entrou no componente até um instante t\ge0.
O que vamos usar é a relação entre corrente e carga:
q(t)=\int_{0}^{t}i(\tau)\,d\tau,
pois para t<0 a corrente é zero e não entra carga.

Passo 2

Escrevemos o integral para t\ge0:
q(t)=\int_{0}^{t}4\sin(5\tau)\,d\tau.
Para resolver, calculamos primeiro a primitiva de \sin(5\tau). Sabendo que
\int\sin(5\tau)\,d\tau=-\frac{1}{5}\cos(5\tau),
multiplicamos por 4 em seguida.

Passo 3

Avaliamo-la como integral definida:
q(t) =4\biggl[-\tfrac{1}{5}\cos(5\tau)\biggr]_{0}^{t} =-\tfrac{4}{5}\bigl(\cos(5t)-\cos(0)\bigr).
Como \cos(0)=1, isso vira
q(t)=-\tfrac{4}{5}\bigl(\cos(5t)-1\bigr) =\tfrac{4}{5}\bigl(1-\cos(5t)\bigr).

Resposta

q(t)=\frac{4}{5}\bigl(1-\cos(5t)\bigr)\quad\text{C},\quad t\ge0.

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