P 1.2-4 A corrente em um componente de um circuito é
i(t)= \begin{cases}0 & t<2 \\\\ 2 & 2<t<4 \\\\ -1 & 4<t<8 \\\\ 0 & 8<t\end{cases}
em que as correntes estão em ampères e o tempo está em segundos. Determine a carga total que entrou no componente até um instante t \geq 0.

Passo 1

O enunciado fornece a corrente elétrica i(t)\) em um componente, definida por \[i(t)= \begin{cases} 0, & t<2,\\\\ 2, & 2<t<4,\\\\ -1, & 4<t<8,\\\\ 0, & 8<t, \end{cases}
e pede a carga total q(t)\] que entrou no componente até um instante \(t\ge0. O conteúdo necessário é a relação
i(t)=\frac{dq}{dt}
e a definição de integral para obter q(t).

Passo 2

Como \displaystyle i(t)=\frac{dq}{dt}, basta integrar i(t) de 0 até t e adotar a condição inicial q(0)=0. Ou seja,
q(t)=\int_{0}^{t} i(\tau)\,d\tau.

Passo 3

Para 0\le t\le2, tem-se i(\tau)=0 em todo \tau\in[0,t]. Logo,
q(t)=\int_{0}^{t}0\,d\tau=0.

Passo 4

Para 2<t\le4, escrevemos
q(t)=\int_{0}^{2}0\,d\tau+\int_{2}^{t}2\,d\tau =0+2\,(t-2) =2\,(t-2).

Passo 5

Para 4<t\le8, há contribuição de duas faixas:
q(t) =\int_{0}^{2}0\,d\tau+\int_{2}^{4}2\,d\tau+\int_{4}^{t}(-1)\,d\tau =0+2\,(4-2)+(-1)\,(t-4).
Isso dá
q(t)=4-(t-4)=8-t.

Passo 6

Para t>8, a corrente é nula em [8,t], de modo que a carga permanece constante no valor em t=8. Como q(8)=8-8=0, segue
q(t)=0\quad\text{para }t\ge8.

Resposta

A carga total até o instante t\ge0 é dada por
q(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t\le2,\\[6pt] 2\,(t-2), & 2<t\le4,\\[6pt] 8-t, & 4<t\le8,\\[6pt] 0, & t>8. \end{cases}]

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