Com os instrumentos aplicados no lado de alta tensão e com o lado de baixa tensão em curto-circuito, o ensaio em um transformador de 50 \mathrm{kVA}, 2400: 240 \mathrm{~V} resultou em VSC =48 \mathrm{~V}; ISC =20,8 \mathrm{~A} e PSC =617 \mathrm{~W}. Um ensaio de circuito aberto, com o lado de baixa energizado, fornece as leituras naquele lado de 240 V ; 5,41 \mathrm{~A} e 186 W . Pede-se:
a) modelo T do transformador (com os valores de cada componente).
b) rendimento e a regulação de tensão a plena carga com o fator de potência de 0,8 indutivo.
c) a regulação de tensão a plena carga com o fator de potência unitário.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece os seguintes dados:
  • Pedidos:
    a) Montar o modelo em T do transformador com os valores de cada componente.
    b) Calcular o rendimento (eficiência) e a regulação de tensão a plena carga com fator de potência 0,8 indutivo.
    c) Calcular a regulação de tensão a plena carga com fator de potência unitário.
  • Dados do transformador:
    \text{Potência nominal } S = 50\\ \mathrm{kVA}ê
\text{Tensão primária (alta) } V_1 = 2400\\ \mathrm{V}ãá
\text{Tensão secundária (baixa) } V_2 = 240\\ \mathrm{V}ãá
  • Ensaio de curto-circuito (lado de alta energizado, lado de baixa curto):
    V_{SC} = 48\\ \mathrm{V},\qquad I_{SC} = 20{,}8\\ \mathrm{A},\qquad P_{SC} = 617\\ \mathrm{W}.
  • Ensaio a circuito aberto (lado de baixa energizado — as leituras informadas são no lado baixo):
    V_{OC} = 240\\ \mathrm{V},\qquad I_{0} = 5{,}41\\ \mathrm{A},\qquad P_{0} = 186\\ \mathrm{W}.
Observação: todos os números acima foram dados pelo enunciado. A resolução segue usando esses dados sem pedir informações extras.

Passo 2

Primeiro, calculo as correntes nominais nas duas bobinas (para referência e checagem). Isso é importante porque o ensaio de curto foi feito exatamente com a corrente nominal no lado ativo.
Fórmula usada: \displaystyle I_\text{nom}=\dfrac{S}{V}, onde S é a potência aparente e V a tensão do lado considerado.
  • Corrente nominal no lado de alta:
    I_{1n}=\dfrac{50\,000}{2400}=20{,}833\\ \mathrm{A}\approx 20{,}83\\ \mathrm{A}.
    Observação: este valor coincide com I_{SC}=20{,}8\\ \mathrm{A}, indicando que o curto foi feito com corrente nominal — bom sinal.
  • Corrente nominal no lado de baixa:
    I_{2n}=\dfrac{50\,000}{240}=208{,}333\\ \mathrm{A}\approx 208{,}33\\ \mathrm{A}.
Também calculo a relação de espiras (razão de tensões):
a=\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{2400}{240}=10.

Passo 3

Usando o ensaio de curto-circuito obtemos a impedância equivalente em série total do transformador, referida ao lado em que foram medidas as grandezas (lado de alta).
Fórmula para a impedância equivalente (módulo):
Z_{eq}^{(HV)}=\dfrac{V_{SC}}{I_{SC}}.
Cálculo:
Z_{eq}^{(HV)}=\dfrac{48}{20{,}8}=2{,}3077\\ \Omega.
A perda medida no curto é a perda ôhmica total (perda de cobre) a corrente nominal; com ela encontramos a resistência equivalente (parte real da impedância):
R_{eq}^{(HV)}=\dfrac{P_{SC}}{I_{SC}^2}.
Cálculo:
R_{eq}^{(HV)}=\dfrac{617}{(20{,}8)^2}=\dfrac{617}{432{,}64}=1{,}427\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
A reatância equivalente (parte imaginária) é encontrada por:
X_{eq}^{(HV)}=\sqrt{(Z_{eq}^{(HV)})^2-(R_{eq}^{(HV)})^2}.
Cálculo:
X_{eq}^{(HV)}=\sqrt{(2{,}3077)^2-(1{,}427)^2} =\sqrt{5{,}3255-2{,}0360}=1{,}8137\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
Resumo (valores referidos ao lado de alta tensão, onde o curto foi medido):
R_{eq}^{(HV)}\approx 1{,}427\\ \Omega,\qquad X_{eq}^{(HV)}\approx 1{,}8137\\ \Omega.

Passo 4

Para montar um modelo T “com os valores de cada componente” é conveniente apresentar valores tanto referidos ao lado de alta quanto ao lado de baixa (pelo enunciado temos medidas em ambos os lados). Para converter impedâncias entre lados usa-se o fator a^2:
Z^{(LV)}=\dfrac{Z^{(HV)}}{a^2},\qquad Z^{(HV)}=a^2 Z^{(LV)}.
Converto a impedância total para o lado de baixa (240 V), dividindo por a^2=100:
Z_{eq}^{(LV)}=\dfrac{2{,}3077}{100}=0{,}023077\\ \Omega.
R_{eq}^{(LV)}=\dfrac{1{,}427}{100}=0{,}01427\\ \Omega.
X_{eq}^{(LV)}=\dfrac{1{,}8137}{100}=0{,}018137\\ \Omega.
Observação didática: esses valores ficam pequenos porque transformadores têm baixa impedância no lado de baixa tensão (correntes altas).

Passo 5

Ensaio a circuito aberto (lado de baixa energizado) nos dá a corrente de magnetização e as perdas no núcleo. No circuito equivalente de transformador o ramo shunt (paralelo) no modelo T tem dois elementos: R_c (resistência que modela perdas no núcleo) e X_m (reatância de magnetização). No ensaio a circuito aberto a corrente que atravessa a série é desprezível, então as leituras aplicadas estão diretamente no ramo shunt.
Definições e fórmulas:
  • Admittância do ramo: Y_0=\dfrac{I_0}{V_{OC}}.
  • Condutância associada às perdas no núcleo: G_c=\dfrac{P_0}{V_{OC}^2}.
  • Assim G_c=\dfrac{1}{R_c} e a susceptância magnética é B_m=\sqrt{Y_0^2-G_c^2}.
  • Finalmente X_m=\dfrac{1}{B_m}.
Cálculos numéricos (valores medidos no lado de baixa):
Y_0=\dfrac{5{,}41}{240}=0{,}0225417\\ \mathrm{S}.
G_c=\dfrac{186}{240^2}=\dfrac{186}{57\,600}=0{,}00322917\\ \mathrm{S}.
R_c=\dfrac{1}{G_c}=\dfrac{1}{0{,}00322917}=309{,}60\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
B_m=\sqrt{Y_0^2-G_c^2}=\sqrt{(0{,}0225417)^2-(0{,}00322917)^2}\approx 0{,}022312\\ \mathrm{S}.
X_m=\dfrac{1}{B_m}\approx \dfrac{1}{0{,}022312}=44{,}82\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
Esses R_c e X_m estão referidos ao lado de baixa ( 240\\ \mathrm{V}). Se quiser referi-los ao lado de alta, multiplica-se por a^2=100:
R_c^{(HV)}\approx 30\,960\\ \Omega,\qquad X_m^{(HV)}\approx 4\,482\\ \Omega.

Passo 6

Agora monto o modelo em T completo com os valores calculados. O modelo T tem:
  • Série no primário: R_1 e X_1,
  • Série no secundário (rebatida ao primário) : R_2' e X_2',
  • Ramo shunt no lado onde abrimos o circuito (aqui coloquei no lado de baixa as medidas): R_c e X_m.
Nós só conhecemos a soma das séries: R_{eq}=R_1+R_2' e X_{eq}=X_1+X_2'. Sem medidas separadas de cada bobina não há uma divisão única. Uma escolha prática e comum, quando nada mais é dado, é repartir igualmente entre primário e secundário (metade em cada), isto é:
R_1=R_2'=\dfrac{R_{eq}^{(HV)}}{2},\qquad X_1=X_2'=\dfrac{X_{eq}^{(HV)}}{2}.
Cálculos (valores no lado de alta, já calculados no Passo 3):
R_1^{(HV)}=R_2'^{(HV)}=\dfrac{1{,}427}{2}=0{,}7135\\ \Omega.
X_1^{(HV)}=X_2'^{(HV)}=\dfrac{1{,}8137}{2}=0{,}90685\\ \Omega.
Se preferimos mostrar R_2 e X_2 no lado de baixa (valores reais da bobina secundária), rebatemos R_2'^{(HV)} e X_2'^{(HV)} dividindo por a^2=100:
R_2^{(LV)}=\dfrac{0{,}7135}{100}=0{,}007135\\ \Omega, \qquad X_2^{(LV)}=\dfrac{0{,}90685}{100}=0{,}0090685\\ \Omega.
Resumo do modelo T (valores principais):
  • Série no primário (lado alto): \;R_1^{(HV)}=0{,}7135\\ \Omega,\; X_1^{(HV)}=0{,}90685\\ \Omega.
  • Série no secundário (rebatido ao primário): \;R_2'^{(HV)}=0{,}7135\\ \Omega,\; X_2'^{(HV)}=0{,}90685\\ \Omega.
  • Ramo shunt no secundário (medido no OC): \;R_c^{(LV)}=309{,}6\\ \Omega,\; X_m^{(LV)}=44{,}82\\ \Omega.
Também temos as versões referidas ao lado de baixa (úteis para cálculos de regulação):
  • Série total no lado de baixa: \;R_{eq}^{(LV)}=0{,}01427\\ \Omega,\; X_{eq}^{(LV)}=0{,}018137\\ \Omega.
  • Ramo shunt: \;R_c^{(LV)}=309{,}6\\ \Omega,\; X_m^{(LV)}=44{,}82\\ \Omega.
(Expliquei a escolha de repartir igualmente por ser a hipótese mais simples na falta de dados de resistência por bobina — se houvesse medição de resistência DC das bobinas, usaríamos aquela razão para dividir.)

Passo 7

Calculo do rendimento (eficiência) a plena carga com fator de potência 0{,}8 indutivo.
Definições e fórmulas:
  • Potência útil entregue à carga: P_{out}=S\cdot\text{pf}=50\,000\cdot 0{,}8=40\,000\\ \mathrm{W}.
  • Perdas:
    • Perdas no núcleo (core losses) = P_{0}=186\\ \mathrm{W} (do ensaio a circuito aberto).
    • Perdas de cobre (a plena carga) = P_{SC}=617\\ \mathrm{W} (do ensaio em curto, feito com corrente nominal).
    • Total perdas: P_{loss}=P_0+P_{SC}=186+617=803\\ \mathrm{W}.
  • Rendimento: \eta=\dfrac{P_{out}}{P_{out}+P_{loss}}=\dfrac{40\,000}{40\,000+803}.
Cálculo:
\eta=\dfrac{40\,000}{40\,803}=0{,}98033\approx 98{,}03\%.
Comentário: a eficiência é alta porque transformador tem baixas perdas relativas a essa potência.

Passo 8

Calculo da regulação de tensão a plena carga com fator de potência 0{,}8 indutivo.
Definição/forma prática (aproximação usual, válida aqui porque a impedância é pequena):
\text{Regulação (\%)}=\dfrac{\Delta V}{V_2}\times 100\%,\qquad \Delta V \approx I_2\,(R_{eq}^{(LV)}\cos\varphi + X_{eq}^{(LV)}\sin\varphi),çã
onde I_2 é a corrente no secundário (plena carga) e \varphi é o ângulo de potência (para pf indutivo \sin\varphi>0). Explico: a queda de tensão na impedância total é I (R+jX); a componente em fase com a tensão depende de R\cos\varphi+X\sin\varphi.
Conhecidos:
I_2=I_{2n}=208{,}333\\ \mathrm{A},\qquad \cos\varphi=0{,}8,\qquad \sin\varphi=0{,}6.
Cálculo do termo entre parênteses usando os valores referidos ao lado de baixa:
R_{eq}^{(LV)}\cos\varphi =0{,}01427\cdot 0{,}8=0{,}011416,
X_{eq}^{(LV)}\sin\varphi =0{,}018137\cdot 0{,}6=0{,}0108822.
R_{eq}^{(LV)}\cos\varphi + X_{eq}^{(LV)}\sin\varphi =0{,}0222982.
Agora \Delta V:
\Delta V \approx 208{,}333\cdot 0{,}0222982=4{,}644\\ \mathrm{V}\\ (\text{aprox.}).
Regulação percentual:
\text{Regulação}=\dfrac{4{,}644}{240}\times 100\%=1{,}935\%\\ (\text{aprox.}).çã

Passo 9

Regulação de tensão a plena carga com fator de potência unitário ( \text{pf}=1).
Para \text{pf}=1: \cos\varphi=1 e \sin\varphi=0. A expressão simplifica para:
\Delta V \approx I_2 R_{eq}^{(LV)}.
Cálculo:
\Delta V \approx 208{,}333\cdot 0{,}01427=2{,}973\\ \mathrm{V}\\ (\text{aprox.}).
\text{Regulação}=\dfrac{2{,}973}{240}\times 100\%=1{,}239\%\\ (\text{aprox.}).çã
Interpretação: com carga em fase (pf=1) a queda reativa é zero, então a regulação é menor do que com carga indutiva.

Resposta

a) Modelo T (valores numéricos):
Ramo série total referida ao lado alto: \;R_{eq}^{(HV)}=1{,}427\\ \Omega,\;X_{eq}^{(HV)}=1{,}8137\\ \Omega.
Dividindo igualmente entre primário e secundário (hipótese prática):
\;R_1^{(HV)}=0{,}7135\\ \Omega,\;X_1^{(HV)}=0{,}90685\\ \Omega;\;R_2'^{(HV)}=0{,}7135\\ \Omega,\;X_2'^{(HV)}=0{,}90685\\ \Omega.
Valores no lado baixo (rebatidos): \;R_{eq}^{(LV)}=0{,}01427\\ \Omega,\;X_{eq}^{(LV)}=0{,}018137\\ \Omega.
Ramo shunt (medido no OC, lado baixo): \;R_c^{(LV)}=309{,}6\\ \Omega,\;X_m^{(LV)}=44{,}82\\ \Omega.
b) Rendimento e regulação a plena carga, \text{pf}=0{,}8 indutivo:
Rendimento \eta=98{,}03\%.
Regulação \approx 1{,}935\%.
c) Regulação a plena carga, \text{pf}=1{,}0:
Regulação \approx 1{,}239\%.

Exercícios relacionados