Um cargueiro move-se a uma velocidade de 8 nós (um nó é a velocidade correspondente de uma milha marítima por hora (ou 1,852 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ) quando seus motores são repentinamente parados. Se o cargueiro demora 10 min para reduzir sua velocidade para 4 nós, obtenha as expressões da distância s, em milhas marítimas, percorrida pelo navio e de sua velocidade v, em nós, em função do tempo t durante este intervalo. Representeas também através de gráficos. A desaceleração do navio é proporcional ao quadrado da sua velocidade, ou seja, a=-k v^{2}.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Velocidade inicial: v(0)=8 (oito nós).
    • Depois de 10 minutos a velocidade vale v=4 (quatro nós).
    • A desaceleração obedece à lei \,a=-k v^{2}\, (com k>0 constante).
  • O enunciado pede:
    • As expressões de s (distância, em milhas náuticas) e de v (velocidade, em nós) em função do tempo t durante o intervalo em que a velocidade vai de 8 para 4.
    • Representação gráfica (vou explicar como esboçar os gráficos).
  • Observação sobre unidades: como a velocidade está em nós (que é milhas náuticas por hora), é mais natural tomar o tempo t em horas. Note que 10 minutos = \dfrac{1}{6} hora. Também vou dar a forma equivalente quando t for tomado em minutos, para facilitar.

Passo 2

Interpretação matemática e estratégia de solução (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é \,a=\dfrac{dv}{dt}.
  • A equação dada é \frac{dv}{dt}=-k v^{2}.Esta é uma equação diferencial ordinária separável: todas as potências/funcões de v podem ser colocadas de um lado e a variável t do outro.
  • A técnica de separação: escrevemos \frac{dv}{v^{2}}=-k\,dt,e então integramos ambos os lados. Vou fazer isso explicitamente no próximo passo.

Passo 3

Integração da equação diferencial para obter v(t).
  • Integramos a relação \dfrac{dv}{v^{2}}=-k\,dt. As integrais são: \int \frac{dv}{v^{2}} = \int -k\,dt.
  • Calcular a integral à esquerda: \int v^{-2}\,dv = -v^{-1}+C. Portanto -\frac{1}{v} = -k t + C,onde C é constante de integração.
  • Multiplicando por -1 e reorganizando obtemos \frac{1}{v} = k t + C',com C'=-C.
  • Aplicamos a condição inicial v(0)=8. Substituindo t=0 obtemos \frac{1}{8} = C'.Logo \frac{1}{v}=k t + \frac{1}{8}.
  • Invertendo, v(t)=\frac{1}{k t + \tfrac{1}{8}}.Até aqui ainda temos a constante k desconhecida; vamos determiná-la usando o dado v\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)=4 (porque 10 minutos =\tfrac{1}{6} hora).

Passo 4

Determinação de k usando v\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)=4 e simplificação final de v(t).
  • Substituindo t=\dfrac{1}{6} e v=4 na fórmula \dfrac{1}{v}=k t + \dfrac{1}{8}, temos \frac{1}{4}=k\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{8}.
  • Calcule passo a passo: \frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}= \frac{k}{6}.Portanto k = 6\cdot\frac{1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
  • Substituindo k=\dfrac{3}{4} em v(t)=\dfrac{1}{k t + \tfrac{1}{8}}: v(t)=\frac{1}{\tfrac{3}{4}t + \tfrac{1}{8}}.
  • Simplificando a fração: escrevendo tudo com denominador 8, \tfrac{3}{4}t + \tfrac{1}{8} = \frac{6t+1}{8},logo v(t)=\frac{1}{\dfrac{6t+1}{8}}=\frac{8}{6t+1}.
  • Conclusão: tomando t em horas (domínio 0\le t\le \tfrac{1}{6}), v(t)=\frac{8}{6t+1}\quad\text{(em nós)}.ó

Passo 5

Obtenção de s(t) integrando \dfrac{ds}{dt}=v(t).
  • Sabendo que a velocidade é a derivada da posição: \dfrac{ds}{dt}=v(t).
  • Substituímos v(t)=\dfrac{8}{6t+1} e integramos para obter s(t). Tomando a posição inicial s(0)=0 (pode escolher origem da distância assim), s(t)=\int_{0}^{t} \frac{8}{6u+1}\,du.(Uso u como variável de integração para não confundir com o limite superior t.)
  • Calcule a integral: fator constante 8 e faça substituição simples. Note que \int \dfrac{du}{6u+1} = \dfrac{1}{6}\ln(6u+1). Então s(t)=8\cdot\frac{1}{6}\bigl[\ln(6u+1)\bigr]_{0}^{t}=\frac{4}{3}\bigl(\ln(6t+1)-\ln 1\bigr).
  • Como \ln 1=0, s(t)=\frac{4}{3}\ln(6t+1).
  • Unidade: s(t) está em milhas náuticas porque v estava em milhas náuticas por hora e t em horas.
  • Verificação numérica rápida (checadinha): para t=\tfrac{1}{6} hora (10 min), s\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)=\frac{4}{3}\ln 2 \approx \frac{4}{3}\cdot 0{,}6931\approx 0{,}9241\\ \text{milhas náuticas},áque faz sentido (o navio ainda percorre quase 1 milha náutica enquanto reduz de 8 para 4 nós).

Passo 6

Formas equivalentes com tempo em minutos e pontos para esboçar os gráficos.
  • Se for mais conveniente usar t em minutos (escrevo agora t em minutos, 0\le t\le 10), use a relação entre minutos e horas: t_{\text{horas}}=\dfrac{t_{\text{min}}}{60}. Substituindo nas fórmulas obtém-se formas simples: v(t)=\frac{8}{1+t/10}\quad\text{(knots, com \(t\) em minutos, \(0\le t\le 10\))},
s(t)=\frac{4}{3}\ln\!\bigl(1+\tfrac{t}{10}\bigr)\quad\text{(milhas náuticas, \(t\) em minutos)}.á
(Verifique: para t=10 min, v=8/(1+1)=4 e s=(4/3)\ln 2.)
  • Pontos úteis para desenhar/plotar:
    • t=0: v=8, s=0.
    • t=5 min (ou t=\tfrac{1}{12} h): v= \dfrac{8}{1+0{,}5}= \dfrac{8}{1{,}5}=5{,}333\ldots nós; s\approx 0{,}5407 mn.
    • t=10 min: v=4, s\approx 0{,}9241 mn.
  • Como desenhar qualitativamente:
    • Gráfico de v versus t: curva monotonamente decrescente, hiperbólica (assíntota em t\to -1/6 para trás, mas no intervalo relevante decai de 8 a 4). Colocar pontos (0,8) e (10\text{ min},4) e traçar curva suave decrescente.
    • Gráfico de s versus t: curva crescente, de forma concava para cima ou para baixo? Aqui s'(t)=v(t)>0 e s''(t)=v'(t)=-k v^{2}<0, logo s é crescente e côncava para baixo (a taxa de crescimento diminui). Colocar (0,0), (5\text{ min},0{,}541), (10\text{ min},0{,}924) e ligar com curva logarítmica.

Passo 7

Resumo final (fórmulas prontas para a prova) e pequena encorajamento.
  • Fórmulas prontas para usar diretamente em prova (escolha a forma de tempo que preferir: horas ou minutos).
  • Dá pra ver que o método chave foi reconhecer a equação diferencial separável e integrar com as condições iniciais — isto é um tema muito frequente em física e engenharia, então vale a pena praticar mais alguns exemplos. Força aí, você consegue!

Resposta

Em horas ( t em horas, 0\le t\le \tfrac{1}{6}):
v(t)=\frac{8}{6t+1}\\ \text{(knots)},\qquad s(t)=\frac{4}{3}\ln(6t+1)\\ \text{(milhas náuticas)}.á
Em minutos ( t em minutos, 0\le t\le 10):
v(t)=\frac{8}{1+t/10}\\ \text{(knots)},\qquad s(t)=\frac{4}{3}\ln\!\bigl(1+\tfrac{t}{10}\bigr)\\ \text{(milhas náuticas)}.á

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