Um cargueiro move-se a uma velocidade de 8 nós (um nó é a velocidade correspondente de uma milha marítima por hora (ou
) quando seus motores são repentinamente parados. Se o cargueiro demora 10 min para reduzir sua velocidade para 4 nós, obtenha as expressões da distância s, em milhas marítimas, percorrida pelo navio e de sua velocidade v, em nós, em função do tempo t durante este intervalo. Representeas também através de gráficos. A desaceleração do navio é proporcional ao quadrado da sua velocidade, ou seja,
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (peguei estes valores do enunciado):
- Velocidade inicial:
(oito nós). - Depois de
minutos a velocidade vale (quatro nós). - A desaceleração obedece à lei
(com constante).
- Velocidade inicial:
- O enunciado pede:
- As expressões de
(distância, em milhas náuticas) e de (velocidade, em nós) em função do tempo durante o intervalo em que a velocidade vai de para . - Representação gráfica (vou explicar como esboçar os gráficos).
- As expressões de
- Observação sobre unidades: como a velocidade está em nós (que é milhas náuticas por hora), é mais natural tomar o tempo
em horas. Note que minutos hora. Também vou dar a forma equivalente quando for tomado em minutos, para facilitar.
Passo 2
Interpretação matemática e estratégia de solução (passo-a-passo, sem pular etapas).
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é
. - A equação dada é
Esta é uma equação diferencial ordinária separável: todas as potências/funcões de podem ser colocadas de um lado e a variável do outro. - A técnica de separação: escrevemos
e então integramos ambos os lados. Vou fazer isso explicitamente no próximo passo.
Passo 3
Integração da equação diferencial para obter
.
- Integramos a relação
. As integrais são: - Calcular a integral à esquerda:
. Portanto onde é constante de integração. - Multiplicando por
e reorganizando obtemos com . - Aplicamos a condição inicial
. Substituindo obtemos Logo - Invertendo,
Até aqui ainda temos a constante desconhecida; vamos determiná-la usando o dado (porque minutos hora).
Passo 4
Determinação de
usando
e simplificação final de
.
- Substituindo
e na fórmula , temos - Calcule passo a passo:
Portanto - Substituindo
em : - Simplificando a fração: escrevendo tudo com denominador
, logo - Conclusão: tomando
em horas (domínio ),
Passo 5
Obtenção de
integrando
.
- Sabendo que a velocidade é a derivada da posição:
. - Substituímos
e integramos para obter . Tomando a posição inicial (pode escolher origem da distância assim), (Uso como variável de integração para não confundir com o limite superior .) - Calcule a integral: fator constante
e faça substituição simples. Note que . Então - Como
, - Unidade:
está em milhas náuticas porque estava em milhas náuticas por hora e em horas. - Verificação numérica rápida (checadinha): para
hora (10 min), que faz sentido (o navio ainda percorre quase 1 milha náutica enquanto reduz de 8 para 4 nós).
Passo 6
Formas equivalentes com tempo em minutos e pontos para esboçar os gráficos.
- Se for mais conveniente usar
em minutos (escrevo agora em minutos, ), use a relação entre minutos e horas: . Substituindo nas fórmulas obtém-se formas simples:
(Verifique: para
min,
e
.)
- Pontos úteis para desenhar/plotar:
-
: , . -
min (ou h): nós; mn. -
min: , mn.
-
- Como desenhar qualitativamente:
- Gráfico de
versus : curva monotonamente decrescente, hiperbólica (assíntota em para trás, mas no intervalo relevante decai de a ). Colocar pontos e e traçar curva suave decrescente. - Gráfico de
versus : curva crescente, de forma concava para cima ou para baixo? Aqui e , logo é crescente e côncava para baixo (a taxa de crescimento diminui). Colocar , , e ligar com curva logarítmica.
- Gráfico de
Passo 7
Resumo final (fórmulas prontas para a prova) e pequena encorajamento.
- Fórmulas prontas para usar diretamente em prova (escolha a forma de tempo que preferir: horas ou minutos).
- Dá pra ver que o método chave foi reconhecer a equação diferencial separável e integrar com as condições iniciais — isto é um tema muito frequente em física e engenharia, então vale a pena praticar mais alguns exemplos. Força aí, você consegue!
Resposta
Em horas (
em horas,
):
Em minutos (
em minutos,
):