Uma partícula se move ao longo de uma linha horizontal tal que sua velocidade é dada por v=\left(3 t^{2}-6 t\right) m / s, onde t é o tempo em segundos. Se a partícula está inicialmente localizada na origem 0 , determine:
a aceleração instantânea em t=3,5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Informação sobre velocidade: \,v(t)=\left(3\,t^{2}-6\,t\right)\\ \mathrm{m/s}, onde \,t está em segundos.
  • Informação sobre posição inicial: a partícula está inicialmente na origem 0 (essa informação não será necessária para calcular a aceleração instantânea, mas foi dada).
  • O que é pedido: determinar a aceleração instantânea no instante \,t=3,5\\ \mathrm{s}.

Passo 2

O que é aceleração instantânea? Vou explicar de forma bem didática.
  • A aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em outras palavras, é o quão rápido a velocidade está mudando naquele instante.
  • Matematicamente, isso significa que a aceleração é a derivada da função velocidade em relação a t:
a(t)=\frac{d v}{d t}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \,a(t) é a aceleração no tempo \,t.
    • \,v é a velocidade que depende de t.
    • \dfrac{d v}{d t} é a derivada de v em relação a t, que dá a taxa instantânea de variação.

Passo 3

Uma rápida intuição e a regra prática para derivar polinômios (sem pânico).
  • Intuição: a derivada de uma função é a inclinação da sua curva num gráfico velocidade versus tempo. Se a velocidade sobe rápido, a aceleração é grande e positiva; se a velocidade diminui, a aceleração é negativa.
  • Regra prática (regra do poder): para derivar \,t^{n} multiplica-se por n e reduz-se o expoente em 1:
\frac{d}{d t}\left(t^{n}\right)=n\,t^{n-1}.
  • Exemplo curto e concreto (justificativa rápida para n=2): usando a definição limite,
\frac{d}{dt}\left(t^{2}\right)=\lim_{h\to0}\frac{(t+h)^{2}-t^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2t h + h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}(2t + h)=2t.
Portanto a regra funciona para t^{2}. Para um coeficiente constante c, a derivada de c\cdot f(t) é c vezes a derivada de f(t).

Passo 4

Aplico a regra às parcelas da velocidade dada.
  • A função velocidade é \,v(t)=3\,t^{2}-6\,t.
  • Derivando termo a termo:
    • Para \,3\,t^{2}: o coeficiente 3 permanece e a derivada de \,t^{2} é 2t, logo a derivada é 3\cdot 2t = 6t.
    • Para -6\,t: a derivada de t é 1, então a derivada é -6\cdot 1 = -6.
  • Assim a aceleração como função do tempo é
a(t)=6\,t-6\quad\text{(em \(\mathrm{m/s^{2}}\)).}

Passo 5

Agora avalio a aceleração em \,t=3,5\\ \mathrm{s}.
  • Substituo \,t=3,5 em \,a(t)=6\,t-6:
a(3,5)=6\cdot 3,5 - 6.
  • Faço a conta passo a passo:
    • 6\cdot 3,5 = 21.
    • 21 - 6 = 15.
  • Portanto
a(3,5)=15\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Interpretação rápida e encorajamento.
  • O resultado \,15\\ \mathrm{m/s^{2}} significa que, naquele instante, a velocidade da partícula está aumentando a uma taxa de 15 metros por segundo a cada segundo.
  • Tá indo bem — a técnica é sempre a mesma: derivar v(t) para obter a(t) e depois avaliar no tempo pedido. Com prática isso vira automático!

Resposta

15\\ \mathrm{m/s^{2}}

Exercícios relacionados