Uma partícula se move ao longo de uma linha horizontal tal que sua velocidade é dada por
, onde
é o tempo em segundos. Se a partícula está inicialmente localizada na origem 0 , determine:
a aceleração instantânea em
.
a aceleração instantânea em
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
- Informação sobre velocidade:
, onde está em segundos. - Informação sobre posição inicial: a partícula está inicialmente na origem
(essa informação não será necessária para calcular a aceleração instantânea, mas foi dada). - O que é pedido: determinar a aceleração instantânea no instante
.
Passo 2
O que é aceleração instantânea? Vou explicar de forma bem didática.
- A aceleração instantânea
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em outras palavras, é o quão rápido a velocidade está mudando naquele instante. - Matematicamente, isso significa que a aceleração é a derivada da função velocidade em relação a
:
- Aqui cada símbolo significa:
-
é a aceleração no tempo . -
é a velocidade que depende de . -
é a derivada de em relação a , que dá a taxa instantânea de variação.
-
Passo 3
Uma rápida intuição e a regra prática para derivar polinômios (sem pânico).
- Intuição: a derivada de uma função é a inclinação da sua curva num gráfico velocidade versus tempo. Se a velocidade sobe rápido, a aceleração é grande e positiva; se a velocidade diminui, a aceleração é negativa.
- Regra prática (regra do poder): para derivar
multiplica-se por e reduz-se o expoente em 1:
- Exemplo curto e concreto (justificativa rápida para
): usando a definição limite,
Portanto a regra funciona para
. Para um coeficiente constante
, a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Passo 4
Aplico a regra às parcelas da velocidade dada.
- A função velocidade é
. - Derivando termo a termo:
- Para
: o coeficiente permanece e a derivada de é , logo a derivada é . - Para
: a derivada de é , então a derivada é .
- Para
- Assim a aceleração como função do tempo é
Passo 5
Agora avalio a aceleração em
.
- Substituo
em :
- Faço a conta passo a passo:
-
. -
.
-
- Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e encorajamento.
- O resultado
significa que, naquele instante, a velocidade da partícula está aumentando a uma taxa de metros por segundo a cada segundo. - Tá indo bem — a técnica é sempre a mesma: derivar
para obter e depois avaliar no tempo pedido. Com prática isso vira automático!