A aceleração devida exclusivamente à gravidade terrestre é a=-g R^{2} / r^{2}, onde r é a distância do centro da Terra até o ponto material, R é o raio da Terra e g a aceleração devida à gravidade na superfície da Terra. Deduza uma expressão para a velocidade de escape, isto é, a mínima velocidade com a qual um ponto material deve ser lançado verticalmente para cima, a partir da superfície da Terra, para que não haja retorno à superfície. (Sugestão: v=0 para r \rightarrow \infty )
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá a aceleração gravitacional em função da distância ao centro da Terra: a=-g\frac{R^{2}}{r^{2}}, onde:
\,r é a distância do centro da Terra até a partícula (variando com o tempo);
\,R é o raio da Terra;
\,g é a intensidade da aceleração da gravidade na superfície (ou seja, \,g é a aceleração quando r=R).
Pede a velocidade de escape: a menor velocidade inicial, lançada verticalmente para cima a partir da superfície (r=R), que faz com que a partícula não retorne à superfície.
A sugestão diz que a condição final desejada é \,v=0 quando r\to\infty.
Observações importantes (informações que usaremos):
A velocidade é radial (apenas componente em r); denotarei por \,v a velocidade radial instantânea da partícula, isto é \,v=\dfrac{dr}{dt}.
A aceleração é a derivada temporal da velocidade: \,a=\dfrac{dv}{dt}.
Passo 2
Transformar a equação da aceleração usando a relação entre derivadas temporais e derivadas em relação a r.
Explicação do truque usado aqui (muito útil em problemas unidimensionais): a derivada temporal da velocidade pode ser escrita usando a regra da cadeia. Como \,v=\dfrac{dr}{dt}, temos
Isto é, a aceleração pode ser escrita como produto da velocidade pela derivada da velocidade em relação à posição. Aqui:
a=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dr}.
Substituindo a expressão dada para a aceleração:
v\frac{dv}{dr}=-g\frac{R^{2}}{r^{2}}.
Comentário didático: esse passo evita lidar explicitamente com o tempo t. Em vez disso resolvemos uma equação separável entre v e r, que é mais simples.
Passo 3
Separar variáveis e integrar com os limites apropriados.
Queremos a menor velocidade inicial v_{0} na superfície (r=R) tal que quando r\to\infty a velocidade tenda a zero (v\to0). Assim usamos limites:
para r: de R até \infty;
para v: de v_{0} até 0.
A equação diferencial separa-se:
v\,dv=-gR^{2}\frac{dr}{r^{2}}.
Integramos ambos os lados com os limites indicados:
Comentário didático final: outra maneira de chegar ao mesmo resultado é por conservação de energia: a energia cinética inicial mínima deve igualar a perda de energia potencial gravitacional ao levar a partícula de r=R até r\to\infty. Ambas as abordagens dão v_{\text{esc}}=\sqrt{2gR}.