A aceleração devida exclusivamente à gravidade terrestre é a=-g R^{2} / r^{2}, onde r é a distância do centro da Terra até o ponto material, R é o raio da Terra e g a aceleração devida à gravidade na superfície da Terra. Deduza uma expressão para a velocidade de escape, isto é, a mínima velocidade com a qual um ponto material deve ser lançado verticalmente para cima, a partir da superfície da Terra, para que não haja retorno à superfície. (Sugestão: v=0 para r \rightarrow \infty )

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a aceleração gravitacional em função da distância ao centro da Terra: a=-g\frac{R^{2}}{r^{2}}, onde:
    • \,r é a distância do centro da Terra até a partícula (variando com o tempo);
    • \,R é o raio da Terra;
    • \,g é a intensidade da aceleração da gravidade na superfície (ou seja, \,g é a aceleração quando r=R).
  • Pede a velocidade de escape: a menor velocidade inicial, lançada verticalmente para cima a partir da superfície ( r=R), que faz com que a partícula não retorne à superfície.
  • A sugestão diz que a condição final desejada é \,v=0 quando r\to\infty.
Observações importantes (informações que usaremos):
  • A velocidade é radial (apenas componente em r); denotarei por \,v a velocidade radial instantânea da partícula, isto é \,v=\dfrac{dr}{dt}.
  • A aceleração é a derivada temporal da velocidade: \,a=\dfrac{dv}{dt}.

Passo 2

Transformar a equação da aceleração usando a relação entre derivadas temporais e derivadas em relação a r.
Explicação do truque usado aqui (muito útil em problemas unidimensionais): a derivada temporal da velocidade pode ser escrita usando a regra da cadeia. Como \,v=\dfrac{dr}{dt}, temos
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=v\frac{dv}{dr}.
Isto é, a aceleração pode ser escrita como produto da velocidade pela derivada da velocidade em relação à posição. Aqui:
a=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dr}.
Substituindo a expressão dada para a aceleração:
v\frac{dv}{dr}=-g\frac{R^{2}}{r^{2}}.
Comentário didático: esse passo evita lidar explicitamente com o tempo t. Em vez disso resolvemos uma equação separável entre v e r, que é mais simples.

Passo 3

Separar variáveis e integrar com os limites apropriados.
Queremos a menor velocidade inicial v_{0} na superfície ( r=R) tal que quando r\to\infty a velocidade tenda a zero ( v\to0). Assim usamos limites:
  • para r: de R até \infty;
  • para v: de v_{0} até 0.
A equação diferencial separa-se:
v\,dv=-gR^{2}\frac{dr}{r^{2}}.
Integramos ambos os lados com os limites indicados:
\int_{v_{0}}^{0} v\,dv = -gR^{2}\int_{R}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}}.
Agora calculamos cada integral passo a passo.

Passo 4

Calcular as integrais explicitamente e resolver para v_{0}.
  • Integral à esquerda:
\int_{v_{0}}^{0} v\,dv = \left.\tfrac{1}{2}v^{2}\right|_{v_{0}}^{0} = \tfrac{1}{2}(0^{2}-v_{0}^{2}) = -\tfrac{1}{2}v_{0}^{2}.
  • Integral à direita:
\int_{R}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}} = \left.-\frac{1}{r}\right|_{R}^{\infty} = 0 -\left(-\frac{1}{R}\right)=\frac{1}{R}.
Multiplicando por -gR^{2}
-gR^{2}\cdot\frac{1}{R}=-gR.
Igualando as duas expressões (esquerda = direita):
-\tfrac{1}{2}v_{0}^{2} = -gR.
Isolando v_{0}^{2}:
v_{0}^{2}=2gR.
Tomando a raiz positiva (velocidade mínima, direção para cima):
v_{0}=\sqrt{2gR}.

Passo 5

Interpretação final e comentários práticos.
  • A expressão obtida é a conhecida velocidade de escape a partir da superfície da Terra (desprezando resistência do ar e rotação da Terra):
v_{\text{esc}}=\sqrt{2gR}.
  • Significado das variáveis:
    • \,g é a gravidade na superfície (por exemplo \,g\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^{2});
    • \,R é o raio da Terra (por exemplo \,R\approx 6{,}37\times10^{6}\\ \text{m}).
  • Valor numérico aproximado (para dar intuição): substituindo os valores típicos,
v_{\text{esc}}\approx\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 6{,}37\times10^{6}}\\ \text{m/s}\approx 1{,}12\times10^{4}\\ \text{m/s}\approx 11{,}2\\ \text{km/s}.
Comentário didático final: outra maneira de chegar ao mesmo resultado é por conservação de energia: a energia cinética inicial mínima deve igualar a perda de energia potencial gravitacional ao levar a partícula de r=R até r\to\infty. Ambas as abordagens dão v_{\text{esc}}=\sqrt{2gR}.

Resposta

v=\sqrt{2gR}

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