- Carlos é um especialista em códigos de segurança. Foi contratado para trabalhar na empresa Seu bem é o nosso bem, e elaborou o polinômio
Para manter seguro o sistema financeiro da empresa, o qual muda o código de segurança todos os dias. O código de hoje é a soma dos coeficientes do polinômio com o termo independente, que será igual à expressão
Para que isso se verifique, o valor de
será igual a
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 3 .
e) 4 .
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 3 .
e) 4 .
Passo 1
O enunciado nos dá a identidade
e diz que “o código de hoje é a soma dos coeficientes do polinômio com o termo independente”, valor esse que é igual a
O que se pede: determinar o valor de
(entre as opções
) que torna verdadeira a igualdade acima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função dada expressa
avaliada em . - O “código” é descrito como a soma dos coeficientes do polinômio juntamente com o termo independente (constante).
- Esse “código” deve coincidir com
.
Passo 2
Interpretação e ferramenta básica (explicada passo a passo, como numa prova):
- Se
é um polinômio, a soma de todos os coeficientes é igual a . Isso porque substituir soma todos os termos: . - O termo independente (constante) é
, e isso é exatamente .
Portanto, a “soma dos coeficientes do polinômio com o termo independente” pode ser entendida como
quando
é o polinômio em questão. Aqui o polinômio em questão é
. Então queremos
Passo 3
Como temos apenas
em função de
, vamos relacionar
e
a valores de
.
- Para achar
precisamos de , o que dá . Assim valor de em . - Para achar
precisamos de , o que dá . Assim valor da mesma expressão em .
Passo 4
Calcular
e
substituindo na expressão dada:
Para
:
Para
:
Calcule cada peça:
,
, e
. Logo
Passo 5
Agora escrevemos a soma pedida
e igualamos à expressão do enunciado:
Pelo enunciado isso deve ser igual a
Cancelando os termos iguais
de ambos os lados, obtemos a condição simples
Portanto
Passo 6
Testamos as opções
(ou pensamos em potências pequenas):
- Para
: . - Para
: . - Para
: . Bingo! - Não é necessário testar
porque já encontramos a igualdade com .
Concluímos que o valor de
procurado é
.
Resposta
c) 2