1. Carlos é um especialista em códigos de segurança. Foi contratado para trabalhar na empresa Seu bem é o nosso bem, e elaborou o polinômio
P(2 x-1)=(5 x-1)^{m}+(2 x+1)^{m}-2 x+1 .
Para manter seguro o sistema financeiro da empresa, o qual muda o código de segurança todos os dias. O código de hoje é a soma dos coeficientes do polinômio com o termo independente, que será igual à expressão
24+\left(\frac{3}{2}\right)^{m}+2^{m}
Para que isso se verifique, o valor de \boldsymbol{m} será igual a
a) 0 .
b) 1 .
c) 2 .
d) 3 .
e) 4 .

Passo 1

O enunciado nos dá a identidade
P(2x-1)=(5x-1)^{m}+(2x+1)^{m}-2x+1
e diz que “o código de hoje é a soma dos coeficientes do polinômio com o termo independente”, valor esse que é igual a
24+\left(\tfrac{3}{2}\right)^{m}+2^{m}.
O que se pede: determinar o valor de m (entre as opções 0,1,2,3,4) que torna verdadeira a igualdade acima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função dada expressa P avaliada em 2x-1.
  • O “código” é descrito como a soma dos coeficientes do polinômio juntamente com o termo independente (constante).
  • Esse “código” deve coincidir com \displaystyle 24+\left(\tfrac{3}{2}\right)^{m}+2^{m}.

Passo 2

Interpretação e ferramenta básica (explicada passo a passo, como numa prova):
  • Se Q(t)=\sum_{k=0}^{n} a_k t^k é um polinômio, a soma de todos os coeficientes a_0+a_1+\dots+a_n é igual a Q(1). Isso porque substituir t=1 soma todos os termos: Q(1)=\sum_{k=0}^{n} a_k.
  • O termo independente (constante) é a_0, e isso é exatamente Q(0).
    Portanto, a “soma dos coeficientes do polinômio com o termo independente” pode ser entendida como
\text{código} = Q(1)+Q(0),ó
quando Q é o polinômio em questão. Aqui o polinômio em questão é P. Então queremos
\text{código} = P(1)+P(0).ó

Passo 3

Como temos apenas P(2x-1) em função de x, vamos relacionar P(1) e P(0) a valores de x.
  • Para achar P(1) precisamos de 2x-1=1, o que dá x=1. Assim P(1)=P(2\cdot1-1)= valor de (5x-1)^m+(2x+1)^m-2x+1 em x=1.
  • Para achar P(0) precisamos de 2x-1=0, o que dá x=\tfrac{1}{2}. Assim P(0)=P(2\cdot\tfrac{1}{2}-1)= valor da mesma expressão em x=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular P(1) e P(0) substituindo na expressão dada:
Para x=1:
P(1)= (5\cdot1-1)^{m}+(2\cdot1+1)^{m}-2\cdot1+1 = 4^{m}+3^{m}-1.
Para x=\tfrac{1}{2}:
P(0)= \left(5\cdot\tfrac{1}{2}-1\right)^{m}+\left(2\cdot\tfrac{1}{2}+1\right)^{m}-2\cdot\tfrac{1}{2}+1.
Calcule cada peça: 5\cdot\tfrac{1}{2}-1=\tfrac{5}{2}-1=\tfrac{3}{2}, 2\cdot\tfrac{1}{2}+1=1+1=2, e -2\cdot\tfrac{1}{2}+1=-1+1=0. Logo
P(0)=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{m}+2^{m}+0=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{m}+2^{m}.

Passo 5

Agora escrevemos a soma pedida P(1)+P(0) e igualamos à expressão do enunciado:
P(1)+P(0)=\bigl(4^{m}+3^{m}-1\bigr)+\Bigl(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{m}+2^{m}\Bigr) =4^{m}+3^{m}+\left(\tfrac{3}{2}\right)^{m}+2^{m}-1.
Pelo enunciado isso deve ser igual a
24+\left(\tfrac{3}{2}\right)^{m}+2^{m}.
Cancelando os termos iguais \left(\tfrac{3}{2}\right)^{m}+2^{m} de ambos os lados, obtemos a condição simples
4^{m}+3^{m}-1=24.
Portanto
4^{m}+3^{m}=25.

Passo 6

Testamos as opções m=0,1,2,3,4 (ou pensamos em potências pequenas):
  • Para m=0: 4^{0}+3^{0}=1+1=2.
  • Para m=1: 4^{1}+3^{1}=4+3=7.
  • Para m=2: 4^{2}+3^{2}=16+9=25. Bingo!
  • Não é necessário testar m=3,4 porque já encontramos a igualdade com m=2.
Concluímos que o valor de m procurado é 2.

Resposta

c) 2

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