\lim _{x \rightarrow 4}\left(e^{x}+4 x\right).

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 4 da função x \mapsto e^{x}+4x. Informações dadas:
  • A expressão cuja limite se quer é e^{x}+4x.
  • O ponto de interesse é x \to 4.
    A pergunta é: qual é \displaystyle\lim_{x\to 4}\bigl(e^{x}+4x\bigr)?

Passo 2

Lembrete importante (ferramenta que vou usar): regra de limites para soma. Se f e g têm limite finito quando x\to a, então
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x).
Ou seja, posso calcular os limites das parcelas separadamente e somar os resultados, desde que ambos existam.

Passo 3

Outro conceito útil: funções contínuas. Uma função h é contínua em a quando
\lim_{x\to a}h(x)=h(a).
Duas funções muito comuns que são contínuas em todo \mathbb{R} são:
  • a exponencial x\mapsto e^{x},
  • as funções lineares x\mapsto kx (com k constante).
    Como ambas são contínuas em x=4, os limites quando x\to 4 são simplesmente os valores das funções em 4.

Passo 4

Calcular os limites das parcelas separadamente:
Para a exponencial:
\lim_{x\to 4} e^{x} = e^{4},
porque e^{x} é contínua em 4 (substituição direta).

Passo 5

Para a parte linear:
\lim_{x\to 4} 4x = 4\cdot 4 = 16,
porque a função x\mapsto 4x é contínua (novamente substituição direta).

Passo 6

Aplicando a regra da soma de limites (Passo 2) com os resultados dos Passos 4 e 5, o limite pedido existe e vale a soma dos limites obtidos.

Resposta

e^{4}+16

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