Questāo: (2.5 pontos)
(a) Determine a solução geral explícita
da equação diferencial
(b) Se
ache o valor da constante.
(a) Determine a solução geral explícita
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar a solução geral explícita
da equação diferencial
- (b) Se
, achar o valor da constante (a constante de integração que aparece na solução geral).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação diferencial é uma equação de primeira ordem envolvendo
, e a função exponencial . - Há uma condição inicial
para usar na parte (b).
Passo 2
Identificar a forma da equação e preparar para resolver: a equação
é do tipo onde a derivada de
aparece proporcional a
vezes uma função de
. Podemos tentar separar as variáveis (colocar todos os termos com
num lado e todos os termos com
no outro). Vou separar as variáveis dividindo ambos os lados por
(atenção: isso exige temporariamente assumir
; a solução
será tratada à parte).
Dividindo por e multiplicando por
obtemos
Dividindo por
Passo 3
Integrar ambos os lados: quando separamos, aplicamos a regra de integrar cada lado em relação à sua variável:
Explico cada integral:
- À esquerda, a integral de
é uma integral padrão que dá o logaritmo absoluto: . Aqui é a função incógnita e é uma constante de integração. - À direita, temos
. Essa integral não é imediata, mas podemos calcular usando integração por partes.
Passo 4
Lembrete (fórmula de integração por partes): se
e
são funções diferenciáveis, então
Para
escolhemos de forma conveniente:
-
(então ), -
(então ).
Aplicando integração por partes:
Fatorando
:
Passo 5
Retornando à igualdade das integrais (juntando as constantes de integração em uma só constante
):
onde
é uma constante real arbitrária (absorvemos
em
). Agora isolamos
: exponenciando ambos os lados,
Chamando
(onde
), obtemos
, então
Para escrever a solução geral de forma simples, podemos usar uma constante arbitrária
(permitindo
para incluir a solução trivial), e escrever
Observação importante: a solução identicamente zero
também satisfaz a equação original e corresponde ao caso
se aceitarmos
real arbitrário.
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial da parte (b):
.
Substituindo na solução geral
:
primeiro calcule em
:
Substituindo
primeiro calcule
Portanto
A condição
dá
Passo 7
Escrever a solução particular correspondente à condição inicial: substituindo
na solução geral obtemos
Esta é a solução explícita que satisfaz
. (Checagem rápida: em
a expressão dá
, ok.)
Resposta
(a)
, com
.\n
(b) .
(b)