1^{\underline{\underline{q}}} Questāo: (2.5 pontos)
(a) Determine a solução geral explícita y(x) da equação diferencial
\frac{d y}{d x}=x y e^{x} .
(b) Se y(0)=1 ache o valor da constante.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a solução geral explícita y(x) da equação diferencial
\frac{d y}{d x}=x y e^{x}.
  • (b) Se y(0)=1, achar o valor da constante (a constante de integração que aparece na solução geral).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação diferencial é uma equação de primeira ordem envolvendo y, x e a função exponencial e^{x}.
  • Há uma condição inicial y(0)=1 para usar na parte (b).

Passo 2

Identificar a forma da equação e preparar para resolver: a equação
\frac{d y}{d x}=x y e^{x}
é do tipo onde a derivada de y aparece proporcional a y vezes uma função de x. Podemos tentar separar as variáveis (colocar todos os termos com y num lado e todos os termos com x no outro). Vou separar as variáveis dividindo ambos os lados por y (atenção: isso exige temporariamente assumir y\neq0; a solução y\equiv0 será tratada à parte).
Dividindo por y e multiplicando por dx obtemos
\frac{1}{y}\,d y = x e^{x}\,d x.

Passo 3

Integrar ambos os lados: quando separamos, aplicamos a regra de integrar cada lado em relação à sua variável:
\int \frac{1}{y}\,d y = \int x e^{x}\,d x.
Explico cada integral:
  • À esquerda, a integral de \dfrac{1}{y}\,d y é uma integral padrão que dá o logaritmo absoluto: \displaystyle \int \frac{1}{y}\,d y = \ln|y| + C_1. Aqui y é a função incógnita e C_1 é uma constante de integração.
  • À direita, temos \displaystyle \int x e^{x}\,d x. Essa integral não é imediata, mas podemos calcular usando integração por partes.

Passo 4

Lembrete (fórmula de integração por partes): se u=u(x) e v'=v'(x) são funções diferenciáveis, então
\int u\,v'\,d x = u v - \int v\,u'\,d x.
Para \displaystyle \int x e^{x}\,d x escolhemos de forma conveniente:
  • u = x (então u' = 1),
  • v' = e^{x}\,d x (então v = e^{x}).
Aplicando integração por partes:
\int x e^{x}\,d x = x e^{x} - \int e^{x}\cdot 1\,d x = x e^{x} - e^{x} + C_2.
Fatorando e^{x}:
\int x e^{x}\,d x = e^{x}(x-1) + C_2.

Passo 5

Retornando à igualdade das integrais (juntando as constantes de integração em uma só constante C):
\ln|y| = e^{x}(x-1) + C,
onde C é uma constante real arbitrária (absorvemos C_2-C_1 em C). Agora isolamos y: exponenciando ambos os lados,
|y| = e^{\,e^{x}(x-1) + C} = e^{C}\,e^{\,e^{x}(x-1)}.
Chamando A=e^{C} (onde A>0), obtemos |y|=A e^{\,e^{x}(x-1)}, então
y = \pm A e^{\,e^{x}(x-1)}.
Para escrever a solução geral de forma simples, podemos usar uma constante arbitrária C\in\mathbb{R} (permitindo C=0 para incluir a solução trivial), e escrever
y(x)=C\,e^{\,e^{x}(x-1)}.
Observação importante: a solução identicamente zero y(x)\equiv 0 também satisfaz a equação original e corresponde ao caso C=0 se aceitarmos C real arbitrário.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial da parte (b): y(0)=1.
Substituindo x=0 na solução geral \displaystyle y(x)=C\,e^{\,e^{x}(x-1)}:
primeiro calcule e^{x}(x-1) em x=0:
e^{0}(0-1)=1\cdot(-1)=-1.
Portanto
y(0)=C\,e^{-1}.
A condição y(0)=1
C\,e^{-1}=1 \quad\Rightarrow\quad C=e.

Passo 7

Escrever a solução particular correspondente à condição inicial: substituindo C=e na solução geral obtemos
y(x)=e\,e^{\,e^{x}(x-1)} = e^{\,1 + e^{x}(x-1)}.
Esta é a solução explícita que satisfaz y(0)=1. (Checagem rápida: em x=0 a expressão dá y(0)=e^{1+(-1)}=e^{0}=1, ok.)

Resposta

(a) y(x)=C\,e^{\,e^{x}(x-1)}, com C\in\mathbb{R}.\n
(b) C=e.

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