1. Substitua o sistema de forças e momentos por uma força e momento equivalentes ao sistema, atuantes no ponto O.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (estou extraindo os dados diretamente da imagem fornecida).
  • Força F_1 = 140\\ \text{N} aplicada verticalmente para baixo, localizada a 3\\ \text{m} à esquerda de O (isto é, em x=-3\\ \text{m}, mesma linha horizontal de O).
  • Força F_2 = 60\\ \text{N} aplicada em um ponto a 8\\ \text{m} à direita de O (isto é, em x=+8\\ \text{m}), inclinada de 30^\circ em relação ao eixo horizontal, apontando para baixo e para a esquerda (portanto tem componentes negativas em x e y).
  • Momento livre (casal) M_c = 40\\ \text{N}\cdot\text{m} representado na figura, sentido anti-horário (counterclockwise).
  • O ponto de redução (onde queremos o equivalente) é o ponto O.
    O que o problema pede: substituir o sistema por uma única força resultante aplicada em O (ou seja, encontrar o vetor resultante \mathbf{R}) e o momento equivalente em O (ou seja, M_O).

Passo 2

Entender como somar forças e momentos (regra usada).
  • Forças no plano: soma-se as componentes de x e de y separadamente. O resultado é \mathbf{R} = R_x\,\mathbf{i} + R_y\,\mathbf{j} com
R_x=\sum F_x,\qquad R_y=\sum F_y.
  • Momento em O: para cada força \mathbf{F} aplicada em posição \mathbf{r}=(x,y) o momento escalar em torno de O (no eixo z perpendicular ao plano) é
M = xF_y - yF_x.
No nosso caso as forças atuam sobre a linha horizontal que passa por O, logo y=0 para os pontos de aplicação, simplificando para
M = x\,F_y.
  • O casal M_c soma-se algebraicamente ao momento total (ele é independente do ponto de aplicação).
  • Convenção de sinal: adoto momento positivo para sentido anti-horário (CCW).

Passo 3

Decompor a força inclinada F_2 em componentes x e y. Explicando o porquê: para somar vetores, é prático separar em direções perpendiculares usando seno e cosseno.
  • A definição: a componente horizontal é F\cos\theta e a vertical é F\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre a força e o eixo horizontal, tomando o sinal conforme direção real da componente.
  • Para F_2=60\\ \text{N} com ângulo \theta=30^\circ abaixo da horizontal e apontando para a esquerda:
F_{2x} = -60\cos 30^\circ,\qquad F_{2y} = -60\sin 30^\circ.
Agora calculemos valores numéricos (lembrando \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}):
F_{2x} = -60\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -30\sqrt{3}\approx -51{,}96\\ \text{N},
F_{2y} = -60\cdot\frac{1}{2} = -30\\ \text{N}.

Passo 4

Somar as componentes das forças para obter a resultante \mathbf{R}.
  • A única componente x extra é de F_2. A componente y total vem de F_1 e de F_2.
R_x = F_{2x} \approx -51{,}96\\ \text{N},
R_y = F_{1y} + F_{2y} = -140 + (-30) = -170\\ \text{N}.
Portanto
\mathbf{R} \approx (-51{,}96)\,\mathbf{i} + (-170)\,\mathbf{j}\\ \text{N}.

Passo 5

Calcular magnitude e direção da resultante (para saber como escrever a força equivalente).
  • Magnitude:
R = \sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}} = \sqrt{(-51{,}96)^{2}+(-170)^{2}} \approx \sqrt{31600}\approx 177{,}9\\ \text{N}.
  • Direção: o ângulo \theta medido a partir do eixo +x no sentido anti-horário é
\theta = \operatorname{atan2}(R_y,R_x).
Numericamente, \arctan\!\left(\dfrac{R_y}{R_x}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-170}{-51{,}96}\right)\approx 73{,}0^\circ. Como R_x<0 e R_y<0, o vetor está no terceiro quadrante, logo o ângulo medido a partir de +x é
\theta \approx 180^\circ + 73{,}0^\circ = 253{,}0^\circ.
(Outra forma de dizer: a resultante aponta 73{,}0^\circ abaixo do eixo negativo x.)

Passo 6

Calcular o momento resultante em O.
  • Aplicar a fórmula M = x F_y para cada força (sinal CCW positivo) e somar, depois somar o casal M_c.
  1. Para F_1=140\\ \text{N} em x=-3\\ \text{m} (apontando para baixo, F_{1y}=-140\\ \text{N}):
M_{1} = x_1 F_{1y} = (-3)\cdot(-140) = +420\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  1. Para F_2 em x=+8\\ \text{m} (só a componente vertical gera momento porque y=0):
M_{2} = x_2 F_{2y} = 8\cdot(-30) = -240\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  1. Soma dos momentos das forças:
M_{\text{forças}} = M_{1}+M_{2} = 420 + (-240) = +180\\ \text{N}\cdot\text{m}.ç
  1. Adiciona-se o casal M_c=+40\\ \text{N}\cdot\text{m} (dado como anti-horário):
M_O = M_{\text{forças}} + M_c = 180 + 40 = +220\\ \text{N}\cdot\text{m}.ç
Sinal positivo indica sentido anti-horário.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido (como apresentar no exame):
  • A única força equivalente aplicada em O é a resultante \mathbf{R} com componentes R_x e R_y calculadas; a ela associa-se o momento livre M_O encontrado em O.
  • Alternativamente pode-se apresentar \mathbf{R} pelo seu módulo e direção (R,\theta) e o momento escalar M_O.

Resposta

\mathbf{R}\approx(-51{,}96)\,\mathbf{i}+(-170)\,\mathbf{j}\\ \text{N} (ou R\approx177{,}9\\ \text{N} a \theta\approx253{,}0^\circ a partir do eixo +x)
M_O=+220\\ \text{N}\cdot\text{m} (sentido anti-horário)

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