3- Um carrinho é impulsionado com uma velocidade inicial \mathrm{v}_{0} no trilho de uma montanha-russa. Na primeira seção do trilho, ele desce um vale de 6 m de profundidade e depois sobe até o topo de uma colina que está 9,0 \mathrm{~m} acima do fundo do vale.
(a) Qual é a velocidade inicial mínima necessária para levar o carrinho além da primeira colina? Suponha que o trilho não tenha atrito.
(b) Podemos afetar essa velocidade alterando a profundidade do vale para fazer a montanha-russa ganhar mais velocidade no fundo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá um carrinho impulsionado com velocidade inicial \,v_0 no topo de um trecho, sem atrito, que desce um vale de 6 m de profundidade e depois sobe até uma colina que está 9{,}0 m acima do fundo do vale. Precisamos usar conservação de energia mecânica para achar o mínimo de \,v_0 capaz de ultrapassar a colina. No item (b) vamos discutir se mudar a profundidade do vale altera essa velocidade.

Passo 2

Escolhemos como referência de energia potencial o nível do fundo do vale. Então a posição inicial do carrinho fica a 6 m acima dessa referência e o topo da colina fica a 9{,}0 m acima também. Logo o topo da colina está
\Delta h = 9{,}0 - 6 = 3{,}0\text{ m}
acima da posição inicial.

Passo 3

Pela conservação de energia mecânica, desprezando atrito, temos
E_{\text{inicial}} = E_{\text{final}}.
Na posição inicial há energia cinética \tfrac12 m v_0^2 e energia potencial m g \cdot 6. No topo da colina, para o limite mínimo, a velocidade é zero e a energia potencial é m g \cdot 9. Igualando:
\tfrac12 m v_0^2 + m g \cdot 6 = 0 + m g \cdot 9.

Passo 4

Cancelando m e isolando v_0^2:
\tfrac12 v_0^2 = g\,(9 - 6) = 3g,
v_0^2 = 6g,
v_0 = \sqrt{6g} = \sqrt{6\times9{,}8}\approx7{,}7\text{ m/s}.

Passo 5

(b) A profundidade do vale só muda o quanto o carrinho acelera até o fundo, mas não altera a energia total disponível para alcançar a colina, que depende apenas da diferença de altura entre o ponto de partida e o topo da colina. Alterar a profundidade do vale aumenta a velocidade máxima no fundo, mas também aumenta o trecho de subida necessário, de forma que o v_0 mínimo continua igual.

Resposta

(a) \,v_0=\sqrt{6g}\approx7{,}7\text{ m/s}.
(b) Não. Mudar a profundidade do vale não altera a velocidade inicial mínima, pois a energia mecânica depende apenas da diferença de altura total.

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