O carro E do elevador tem massa de 1,80 \mathrm{t}\left(1 \mathrm{t}=10^{3}\right. kg ) e o contrapeso C, de 2,30 \mathrm{t}. Se o motor aplica na roldana A um torque M=\left(0,06 \theta^{2}+7,5\right) \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}, onde \theta é dado em radianos, determine a velocidade do elevador após ter subido 12 m , partindo do repouso. As roldanas A e B têm cada uma massa de 150 kg e raio de giração k=0,2 \mathrm{~m}, em relação ao centro de massa. Despreze a massa do cabo e considere que ele não escorrega nas roldanas.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pedido: determine a velocidade do elevador após subir 12\\ \mathrm{m}, partindo do repouso.
  • Dados relevantes:
    • massa do carro E: m_E = 1{,}80\\ \mathrm{t} = 1{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{kg}.
    • massa do contrapeso C: m_C = 2{,}30\\ \mathrm{t} = 2{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{kg}.
    • torque aplicado pelo motor na roldana A: M(\theta)=\left(0{,}06\,\theta^{2}+7{,}5\right)\\ \mathrm{N\cdot m}, com \theta em radianos.
    • cada roldana A e B tem massa m_p=150\\ \mathrm{kg} e raio de giração k=0{,}2\\ \mathrm{m} (em relação ao centro).
    • despresar massa do cabo e considerar que não escorrega nas roldanas.
  • Informação geométrica ausente: o enunciado não dá explicitamente o raio geométrico das roldanas que conecta o deslocamento linear s ao ângulo \theta. Vou usar a hipótese necessária (explicada adiante) para relacionar s e \theta.

Passo 2

Escolha do método.
Vou aplicar o teorema trabalho-energia (energia mecânica): o trabalho das forças não conservativas (aqui, o motor) mais o trabalho da gravidade resultam na variação da energia cinética do sistema. Esse método é o mais direto porque o torque é função de \theta e aparece naturalmente como trabalho \int M\,d\theta. Não vamos montar equações de movimento; só balanço energético.

Passo 3

Conversões e cálculos iniciais de massa.
  • m_E = 1{,}80\times10^{3} = 1800\\ \mathrm{kg}.
  • m_C = 2{,}30\times10^{3} = 2300\\ \mathrm{kg}.
  • cada roldana: m_p = 150\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Momento de inércia das roldanas (uso do raio de giração).
O raio de giração k é definido pela relação I = m\,k^{2} (onde I é o momento de inércia em relação ao centro). Assim, para cada roldana
I_{\text{roldana}} = m_p\,k^{2} = 150\cdot(0{,}2)^{2} = 150\cdot0{,}04 = 6{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Como há duas roldanas idênticas,
I_{\text{total}} = 2\cdot6{,}0 = 12{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Observação importante (hipótese necessária): o enunciado não deu o raio geométrico r da superfície onde o cabo contacta a roldana. Para relacionar o deslocamento linear s com o ângulo \theta usamos s=r\theta. Vou assumir que a massa das roldanas está concentrada na borda (ou que o problema queria usar k também como raio de contato), isto é, assumir r=k=0{,}2\\ \mathrm{m}. Essa é uma hipótese comum em exercícios onde só se dá k. Se você tiver um diagrama com outro valor de r, substitua-o em \theta = s/r.

Passo 5

Relação entre deslocamento linear e ângulo da roldana e valor de \theta final.
Sem escorregamento, o cabo relaciona o deslocamento s e a rotação por
s = r\,\theta.
Com s=12\\ \mathrm{m} e assumindo r=k=0{,}2\\ \mathrm{m},
\theta_{f} = \frac{s}{r} = \frac{12}{0{,}2} = 60\\ \text{rad}.

Passo 6

Cálculo do trabalho realizado pelo motor.
O trabalho realizado pelo motor quando a roldana gira de 0 até \theta_{f} é a integral de M(\theta)\,d\theta. É preciso analisar o sinal: como o contrapeso é mais pesado ( m_C>m_E), o sistema tende a mover-se no sentido que faz a contrapeso descer e o carro subir; então a rotação correspondente ocorre naturalmente por ação da gravidade. O motor, conforme enunciado, “aplica” um torque M(\theta); tipicamente esse torque é uma resistência (controle/freio) e, nesse sentido, o trabalho do motor sobre o sistema é negativo (o motor retira energia do sistema). Assim, o trabalho do motor sobre o sistema será
W_{m} = -\int_{0}^{\theta_{f}} M(\theta)\,d\theta.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\theta_{f}} M(\theta)\,d\theta = \int_{0}^{60} \left(0{,}06\theta^{2}+7{,}5\right)d\theta = \left[0{,}02\theta^{3}+7{,}5\theta\right]_{0}^{60}.
Agora avalia:
0{,}02\cdot60^{3} + 7{,}5\cdot60 = 0{,}02\cdot216000 + 450 = 4320 + 450 = 4770\\ \mathrm{J}.
Portanto
W_{m} = -4770\\ \mathrm{J}.
(Se, em vez disso, o motor fosse assistindo o movimento, o sinal seria positivo; aqui estamos adotando o sinal negativo porque o contrapeso excedente produz a aceleração e o motor está aplicando torque resistente.)

Passo 7

Trabalho da gravidade (energia fornecida pelo peso).
O trabalho da gravidade iguala ao peso vezes deslocamento para cada massa, com sinal adequado. Mais diretamente, a diferença de trabalho da gravidade entre contrapeso e carro quando um sobe e outro desce é
W_{g} = (m_C - m_E)\,g\,s.
Substituindo m_C-m_E = 2300-1800 = 500\\ \mathrm{kg}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} e s=12\\ \mathrm{m},
W_{g} = 500\cdot9{,}81\cdot12 = 58\,860\\ \mathrm{J}.
Esse trabalho é positivo: a gravidade fornece energia ao sistema (o contrapeso desce).

Passo 8

Balanço energético (teorema trabalho-energia).
Somando os trabalhos externos (motor + gravidade) obtemos a variação da energia cinética do sistema:
W_{m} + W_{g} = \Delta K.
Substituindo os valores:
-4770 + 58\,860 = \Delta K \implies \Delta K = 54\,090\\ \mathrm{J}.
Como partimos do repouso, \Delta K = K_{\text{final}}.

Passo 9

Expressar a energia cinética total em função da velocidade linear v.
A energia cinética total é a soma das energias cinéticas de translação do carro e do contrapeso mais a energia rotacional das duas roldanas:
K = \tfrac{1}{2}m_{E}v^{2} + \tfrac{1}{2}m_{C}v^{2} + 2\cdot\tfrac{1}{2}I_{\text{roldana}}\omega^{2}.
Como não há escorregamento, \omega = v/r. Agrupando,
K = \tfrac{1}{2}(m_{E}+m_{C})v^{2} + \tfrac{1}{2}I_{\text{total}}\left(\frac{v^{2}}{r^{2}}\right) = \tfrac{1}{2}\Big[(m_{E}+m_{C}) + \frac{I_{\text{total}}}{r^{2}}\Big]v^{2}.
Agora substituímos números: m_{E}+m_{C}=1800+2300=4100\\ \mathrm{kg}, I_{\text{total}}=12{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}} e r=0{,}2\\ \mathrm{m} (hipótese do Passo 5), então
\frac{I_{\text{total}}}{r^{2}} = \frac{12}{(0{,}2)^{2}} = \frac{12}{0{,}04} = 300\\ \mathrm{kg}.
Logo o fator entre colchetes é 4100+300=4400\\ \mathrm{kg} e
K = \tfrac{1}{2}\cdot4400\\ v^{2} = 2200\\ v^{2}.

Passo 10

Determinar v a partir de K.
Temos K = 54\,090\\ \mathrm{J}, logo
2200\\ v^{2} = 54\,090 \quad\Longrightarrow\quad v^{2} = \frac{54\,090}{2200} = 24{,}58636\ldots
e
v = \sqrt{24{,}58636\ldots} \approx 4{,}9586\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
v \approx 4{,}96\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v = 4{,}96\\ \mathrm{m/s}

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