O carro
do elevador tem massa de
kg ) e o contrapeso
, de
. Se o motor aplica na roldana
um torque
, onde
é dado em radianos, determine a velocidade do elevador após ter subido 12 m , partindo do repouso. As roldanas
e
têm cada uma massa de 150 kg e raio de giração
, em relação ao centro de massa. Despreze a massa do cabo e considere que ele não escorrega nas roldanas.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pedido: determine a velocidade do elevador após subir
, partindo do repouso. - Dados relevantes:
- massa do carro
: . - massa do contrapeso
: . - torque aplicado pelo motor na roldana
: , com em radianos. - cada roldana
e tem massa e raio de giração (em relação ao centro). - despresar massa do cabo e considerar que não escorrega nas roldanas.
- massa do carro
- Informação geométrica ausente: o enunciado não dá explicitamente o raio geométrico das roldanas que conecta o deslocamento linear
ao ângulo . Vou usar a hipótese necessária (explicada adiante) para relacionar e .
Passo 2
Escolha do método.
Vou aplicar o teorema trabalho-energia (energia mecânica): o trabalho das forças não conservativas (aqui, o motor) mais o trabalho da gravidade resultam na variação da energia cinética do sistema. Esse método é o mais direto porque o torque é função de e aparece naturalmente como trabalho
. Não vamos montar equações de movimento; só balanço energético.
Vou aplicar o teorema trabalho-energia (energia mecânica): o trabalho das forças não conservativas (aqui, o motor) mais o trabalho da gravidade resultam na variação da energia cinética do sistema. Esse método é o mais direto porque o torque é função de
Passo 3
Conversões e cálculos iniciais de massa.
-
. -
. - cada roldana:
.
Passo 4
Momento de inércia das roldanas (uso do raio de giração).
O raio de giração é definido pela relação
(onde
é o momento de inércia em relação ao centro). Assim, para cada roldana
O raio de giração
Como há duas roldanas idênticas,
Observação importante (hipótese necessária): o enunciado não deu o raio geométrico
da superfície onde o cabo contacta a roldana. Para relacionar o deslocamento linear
com o ângulo
usamos
. Vou assumir que a massa das roldanas está concentrada na borda (ou que o problema queria usar
também como raio de contato), isto é, assumir
. Essa é uma hipótese comum em exercícios onde só se dá
. Se você tiver um diagrama com outro valor de
, substitua-o em
.
Passo 5
Relação entre deslocamento linear e ângulo da roldana e valor de
final.
Sem escorregamento, o cabo relaciona o deslocamento e a rotação por
Sem escorregamento, o cabo relaciona o deslocamento
Com
e assumindo
,
Passo 6
Cálculo do trabalho realizado pelo motor.
O trabalho realizado pelo motor quando a roldana gira de até
é a integral de
. É preciso analisar o sinal: como o contrapeso é mais pesado (
), o sistema tende a mover-se no sentido que faz a contrapeso descer e o carro subir; então a rotação correspondente ocorre naturalmente por ação da gravidade. O motor, conforme enunciado, “aplica” um torque
; tipicamente esse torque é uma resistência (controle/freio) e, nesse sentido, o trabalho do motor sobre o sistema é negativo (o motor retira energia do sistema). Assim, o trabalho do motor sobre o sistema será
O trabalho realizado pelo motor quando a roldana gira de
Calcule a integral:
Agora avalia:
Portanto
(Se, em vez disso, o motor fosse assistindo o movimento, o sinal seria positivo; aqui estamos adotando o sinal negativo porque o contrapeso excedente produz a aceleração e o motor está aplicando torque resistente.)
Passo 7
Trabalho da gravidade (energia fornecida pelo peso).
O trabalho da gravidade iguala ao peso vezes deslocamento para cada massa, com sinal adequado. Mais diretamente, a diferença de trabalho da gravidade entre contrapeso e carro quando um sobe e outro desce é
O trabalho da gravidade iguala ao peso vezes deslocamento para cada massa, com sinal adequado. Mais diretamente, a diferença de trabalho da gravidade entre contrapeso e carro quando um sobe e outro desce é
Substituindo
,
e
,
Esse trabalho é positivo: a gravidade fornece energia ao sistema (o contrapeso desce).
Passo 8
Balanço energético (teorema trabalho-energia).
Somando os trabalhos externos (motor + gravidade) obtemos a variação da energia cinética do sistema:
Somando os trabalhos externos (motor + gravidade) obtemos a variação da energia cinética do sistema:
Substituindo os valores:
Como partimos do repouso,
.
Passo 9
Expressar a energia cinética total em função da velocidade linear
.
A energia cinética total é a soma das energias cinéticas de translação do carro e do contrapeso mais a energia rotacional das duas roldanas:
A energia cinética total é a soma das energias cinéticas de translação do carro e do contrapeso mais a energia rotacional das duas roldanas:
Como não há escorregamento,
. Agrupando,
Agora substituímos números:
,
e
(hipótese do Passo 5), então
Logo o fator entre colchetes é
e
Passo 10
Determinar
a partir de
.
Temos , logo
Temos
e
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):