A porta tem peso de 200 lb e centro de gravidade em G. Determine quanto a porta pode mover-se em 2 s , a partir do repouso, se um homem a empurra em C com uma força horizontal F=30 \mathrm{lb}. Obtenha também as reações verticais nos rodízios A e B.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar quanto a porta pode mover-se em 2\\ \text{s}, partindo do repouso, quando um homem empurra em C com uma força horizontal F=30\\ \text{lb}.
  2. Obter as reações verticais nos rodízios A e B.
Informações explicitamente dadas:
  • Peso da porta W=200\\ \text{lb}.
  • Força horizontal aplicada em C: F=30\\ \text{lb}.
  • Tempo de interesse: t=2\\ \text{s}.
  • Condição inicial: parte do repouso.
Informações que deveriam estar na figura (mas não foram enviadas) e são necessárias para resolver numericamente o problema:
  • Posição do centro de gravidade G em relação aos rodízios A e B: ou seja, a distância de G até A e até B (ou a distância entre A e B e a posição relativa de G).
  • Posição do ponto de aplicação C (em especial a distância lateral e vertical entre C e G ou entre C e os rodízios), que determina o braço de momento produzido por F.
  • Se os rodízios permitem movimento horizontal livre (rolamento sem reação horizontal) ou se eles oferecem reação horizontal; em outras palavras, as restrições geométricas que acoplam translação e rotação da porta.
  • Dimensões da porta (se for preciso calcular o momento de inércia I para rotações).
    Sem esses dados geométricos e de restrição não é possível obter valores numéricos únicos e corretos para o deslocamento real e para as reações verticais.

Passo 2

O que fisicamente precisamos fazer (visão geral didática, sem ainda calcular números):
  • Identificar se a força F causa apenas translação horizontal do corpo rígido (porta) ou se causa também rotação em torno de um eixo (por exemplo eixo vertical), dependendo de onde F age relative a G e das restrições dos rodízios.
  • Escrever as equações da dinâmica para o corpo rígido:
    • Equação de translação (segunda lei de Newton aplicada ao centro de massa): \sum F_x = m a_{\text{cm}},onde m é a massa da porta (em slugs no sistema inglês) e a_{\text{cm}} é a aceleração do centro de massa.
    • Equação de rotação (equação de momento) em torno de um ponto conveniente (por exemplo o centro de massa G ou um rodízio): \sum M = I\,\alpha,onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo escolhido e \alpha é a aceleração angular.
  • As reações verticais A_y e B_y vêm do equilíbrio (estático) na direção vertical, porque F é horizontal e não tem componente vertical. Assim: A_y + B_y = W.Para dividir W entre A e B precisamos das distâncias (momento estático): tomando momentos em torno de A, B_y \cdot L = W \cdot x_G,onde L é a distância entre A e B e x_G é a distância de G até A. Daí B_y = \frac{W\,x_G}{L},\qquad A_y = W - B_y.Note que essas fórmulas são puramente geométricas: sem x_G e L não dá para numerar.

Passo 3

Cálculo da massa a partir do peso (explicação didática de unidades):
  • No sistema inglês de unidades usado aqui, o peso W (em libras-força, lb) relaciona-se com a massa m (em slugs) por m=\frac{W}{g},onde g é a aceleração gravitacional. Tomamos g=32{,}2\\ \text{ft/s}^2.
  • Aplicando a isso (apenas para ilustrar), m=\frac{200}{32{,}2}\\ \text{slugs}\approx 6{,}211\\ \text{slugs}.
Explanação: é importante transformar peso em massa quando se usa a segunda lei de Newton na forma F=ma, porque F em lb e m em slugs dão a em \text{ft/s}^2.

Passo 4

Como determinar o deslocamento em 2\\ \text{s} — análise dos casos possíveis e fórmulas:
Existem duas situações físicas distintas que mudam o procedimento numérico:
Caso A — porta se desloca em translação praticamente sem rotação:
  • Isso ocorre se a força F age de tal forma que não produz momento que cause rotação (por exemplo se a linha de ação de F passa por G), ou se os rodízios permitem movimento que não gera momento resistivo e a porta simplesmente acelera como um corpo livre.
  • Neste caso a aceleração do centro de massa é simplesmente a_{\text{cm}}=\frac{F}{m},porque não há outras forças horizontais relevantes. Com aceleração constante a partir do repouso, o deslocamento em tempo t é s=\tfrac{1}{2}a_{\text{cm}} t^2.Substituindo numericamente (apenas como ilustração), com F=30\\ \text{lb} e m\approx 6{,}211\\ \text{slugs}, a_{\text{cm}}\approx\frac{30}{6{,}211}\\ \text{ft/s}^2\approx 4{,}83\\ \text{ft/s}^2,e para t=2\\ \text{s}, s\approx\tfrac{1}{2}\cdot 4{,}83\cdot 2^2 \approx 9{,}66\\ \text{ft}.Atenção: este valor numérico de 9{,}66\\ \text{ft} é válido somente sob a hipótese do Caso A — isto é, sem rotação e sem reações horizontais adicionais que modifiquem a aceleracão.
Caso B — porta sofre translação e rotação acopladas:
  • Se F tem linha de ação deslocada em relação a G, ela gera um momento que provoca aceleração angular \alpha. Nesse caso devemos escrever simultaneamente: \sum F_x = m a_{\text{cm}} \quad\text{e}\quad \sum M_G = I_G\,\alpha,onde \sum M_G inclui o momento de F em relação a G (por exemplo M = F\cdot d, com d o braço perpendicular).
  • Mesmo com rotação, a componente horizontal da equação de translação continua sendo \sum F_x = m a_{\text{cm}}. Ou seja, o valor de a_{\text{cm}} devido à força externa horizontal F é geralmente F/m desde que não existam outras forças horizontais (ou seja, se as reações horizontais nos rodízios não fornecerem forças horizontais significativas). Porém, se as restrições nos rodízios impedem rotação ou introduzem forças horizontais, as equações ficam acopladas e é preciso conhecer as posições e as reações de contato para resolver o sistema.
  • Para calcular \alpha precisamos do momento de inércia I_G da porta em relação ao eixo de rotação (isto depende da geometria da porta). Exemplo: para uma placa retangular de dimensões a\times b com eixo vertical pelo centro, um modelo simples dá I_G=\frac{m}{12}(a^2+b^2),mas esse é apenas um exemplo de caso geométrico.
Resumo prático: sem saber se as rodas permitem livre deslocamento horizontal e sem conhecer a posição de C relativa a G, não conseguimos decidir se o Caso A ou B se aplica ao enunciado real.

Passo 5

Como obter as reações verticais A_y e B_y (explicação passo a passo):
  • As reações verticais são obtidas do equilíbrio vertical e do equilíbrio de momentos (estáticos), pois a força aplicada é horizontal e não adiciona componente vertical.
  • Escrevemos: A_y + B_y = W.
  • Tomando momentos em torno de A, B_y \cdot L = W \cdot x_G,daí B_y=\frac{W\,x_G}{L},\qquad A_y=W-B_y.
  • Exemplo ilustrativo (hipótese comum): se o centro de gravidade G estiver exatamente no meio entre A e B (ou seja x_G=L/2), então B_y=\frac{W\,(L/2)}{L}=\frac{W}{2}=100\\ \text{lb},e A_y=100\\ \text{lb}.Mas, reforço: isso é somente um exemplo com a hipótese x_G=L/2. Com quaisquer outros valores de x_G e L obtém-se uma divisão diferente.

Passo 6

Resumo do procedimento a aplicar assim que a figura/dados faltantes forem fornecidos (passo a passo que você pode usar na prova):
  1. Ler a figura e extrair: L (distância A- B), x_G (posição de G medida desde A), posição de C (braço do momento d), dimensões da porta para I_G se for necessário.
  2. Calcular m=W/g.
  3. Fazer o diagrama de corpo livre horizontal e verticalmente.
  4. Calcular A_y e B_y por equilíbrio vertical e momentos (fórmulas do Passo 5).
  5. Determinar se a força F gera rotação que interessa ao problema:
    • Se a porta puder mover-se horizontalmente livre (sem reações horizontais que interfiram) e o efeito rotacional é desprezível, use a_{\text{cm}}=F/m e s=\tfrac{1}{2}a_{\text{cm}}t^2.
    • Se a rotação for relevante, escreva as equações de translação e rotação e resolva o sistema para a_{\text{cm}} e \alpha simultaneamente; use I_G conforme a geometria.
  6. Calcule o deslocamento s em t=2\\ \text{s} usando cinemática com aceleração obtida.
  7. Apresente resultados numéricos.

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos únicos para o deslocamento em 2\\ \text{s} e para as reações verticais em A e B porque a figura / dados geométricos necessários (posições de G e C, distância entre A e B, e as restrições dos rodízios) não foram fornecidos.

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