Mostre que o vetor gradiente é perpendicular às superfícies equipotenciais
.
Uma superfície equipotencial é um conjunto de pontos em que uma função escalar
tem o mesmo valor constante.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que o vetor gradiente é perpendicular às superfícies equipotenciais.
Informações dadas: uma função escalar e a definição de superfície equipotencial como o conjunto de pontos tais que
, onde
é constante.
Objetivo explícito: provar que, em qualquer ponto da superfície , o vetor
é ortogonal a qualquer vetor tangente à superfície naquele ponto.
Informações dadas: uma função escalar
Objetivo explícito: provar que, em qualquer ponto da superfície
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas com calma).
Definição do gradiente: o gradiente de é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
. Em coordenadas cartesianas, para
,
Definição do gradiente: o gradiente de
Intuição do gradiente:
aponta na direção de maior crescimento de
e sua magnitude traduz a taxa de crescimento nessa direção.
Derivada direcional / regra da cadeia: se eu tenho uma curva , a derivada de
ao longo da curva é dada pela regra da cadeia:
Derivada direcional / regra da cadeia: se eu tenho uma curva
onde
é o vetor tangente à curva e
é o produto escalar. Vou explicar por que essa igualdade vale no próximo passo.
Passo 3
Demonstração da fórmula da regra da cadeia em componentes (para ficar bem explícito).
Se e
, então aplicando derivada em componentes:
Se
Escrevendo em forma vetorial, as componentes formam exatamente o produto escalar entre
e
:
Isso é só a regra da cadeia em forma vetorial — nada misterioso, é soma das parciais vezes as derivadas das coordenadas.
Passo 4
Aplicação ao caso da superfície equipotencial.
Pegue uma curva que esteja contida na superfície equipotencial
. Isso significa que, para todo
da curva,
Pegue uma curva
Como
é constante, sua derivada ao longo da curva é zero:
Usando a fórmula da regra da cadeia do passo anterior temos
Passo 5
Interpretação do resultado e conclusão lógica.
A igualdade significa que o gradiente é ortogonal ao vetor tangente
a qualquer curva que permaneça na superfície equipotencial. Como os vetores tangentes a diferentes curvas que passam por um mesmo ponto geram o plano tangente da superfície nesse ponto, concluímos que
é ortogonal a todo plano tangente da superfície em
. Portanto
é um vetor normal à superfície equipotencial naquele ponto — isto é, ele é perpendicular à superfície.
A igualdade
Passo 6
Forma alternativa curta (útil para escrever rápido na prova) usando aproximação linear:
Para um pequeno deslocamento em torno de
,
Para um pequeno deslocamento
Se
é um deslocamento tangente à superfície equipotencial, então
não muda (mantém o mesmo valor
), logo
. Isso mostra novamente que
é ortogonal a qualquer deslocamento tangente — portanto normal à superfície.
Passo 7
Exemplo concreto para fixar a intuição.
Escolha . As superfícies (neste caso curvas de nível) são círculos
de raio
. O gradiente é
Escolha
que é o vetor radial. Um vetor tangente ao círculo no ponto
pode ser
. O produto escalar é
mostrando explicitamente que o gradiente é perpendicular à tangente do círculo. Geometricamente: gradiente aponta para fora (radial), tangente circula em volta; são ortogonais.