Mostre que o vetor gradiente é perpendicular às superfícies equipotenciais { }^{1}.
{ }^{1} Uma superfície equipotencial é um conjunto de pontos em que uma função escalar \varphi(r) tem o mesmo valor constante.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que o vetor gradiente é perpendicular às superfícies equipotenciais.
Informações dadas: uma função escalar \varphi(\mathbf{r}) e a definição de superfície equipotencial como o conjunto de pontos tais que \varphi(\mathbf{r})=c, onde c é constante.
Objetivo explícito: provar que, em qualquer ponto da superfície \{\mathbf{r}\mid \varphi(\mathbf{r})=c\}, o vetor \nabla\varphi(\mathbf{r}) é ortogonal a qualquer vetor tangente à superfície naquele ponto.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas com calma).
Definição do gradiente: o gradiente de \varphi é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de \varphi. Em coordenadas cartesianas, para \mathbf{r}=(x,y,z),
\nabla\varphi(\mathbf{r})=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y},\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right).
Intuição do gradiente: \nabla\varphi(\mathbf{r}) aponta na direção de maior crescimento de \varphi e sua magnitude traduz a taxa de crescimento nessa direção.
Derivada direcional / regra da cadeia: se eu tenho uma curva \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), a derivada de \varphi ao longo da curva é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t))=\nabla\varphi(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t),
onde \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) é o vetor tangente à curva e \cdot é o produto escalar. Vou explicar por que essa igualdade vale no próximo passo.

Passo 3

Demonstração da fórmula da regra da cadeia em componentes (para ficar bem explícito).
Se \varphi=\varphi(x,y,z) e \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), então aplicando derivada em componentes:
\frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t))=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\frac{dz}{dt}.
Escrevendo em forma vetorial, as componentes formam exatamente o produto escalar entre \nabla\varphi(\mathbf{r}(t)) e \mathbf{r}'(t):
\frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t))=\nabla\varphi(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).
Isso é só a regra da cadeia em forma vetorial — nada misterioso, é soma das parciais vezes as derivadas das coordenadas.

Passo 4

Aplicação ao caso da superfície equipotencial.
Pegue uma curva \mathbf{r}(t) que esteja contida na superfície equipotencial \varphi(\mathbf{r})=c. Isso significa que, para todo t da curva,
\varphi(\mathbf{r}(t))=c.
Como c é constante, sua derivada ao longo da curva é zero:
\frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t))=0.
Usando a fórmula da regra da cadeia do passo anterior temos
0=\frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t))=\nabla\varphi(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).

Passo 5

Interpretação do resultado e conclusão lógica.
A igualdade \nabla\varphi(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=0 significa que o gradiente é ortogonal ao vetor tangente \mathbf{r}'(t) a qualquer curva que permaneça na superfície equipotencial. Como os vetores tangentes a diferentes curvas que passam por um mesmo ponto geram o plano tangente da superfície nesse ponto, concluímos que \nabla\varphi(\mathbf{r}) é ortogonal a todo plano tangente da superfície em \mathbf{r}. Portanto \nabla\varphi(\mathbf{r}) é um vetor normal à superfície equipotencial naquele ponto — isto é, ele é perpendicular à superfície.

Passo 6

Forma alternativa curta (útil para escrever rápido na prova) usando aproximação linear:
Para um pequeno deslocamento \delta\mathbf{r} em torno de \mathbf{r},
\varphi(\mathbf{r}+\delta\mathbf{r})\approx\varphi(\mathbf{r})+\nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot\delta\mathbf{r}.
Se \delta\mathbf{r} é um deslocamento tangente à superfície equipotencial, então \varphi não muda (mantém o mesmo valor c), logo \nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot\delta\mathbf{r}=0. Isso mostra novamente que \nabla\varphi(\mathbf{r}) é ortogonal a qualquer deslocamento tangente — portanto normal à superfície.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a intuição.
Escolha \varphi(x,y)=x^{2}+y^{2}. As superfícies (neste caso curvas de nível) são círculos \varphi(x,y)=c de raio \sqrt{c}. O gradiente é
\nabla\varphi(x,y)=(2x,2y),
que é o vetor radial. Um vetor tangente ao círculo no ponto (x,y) pode ser (-y,x). O produto escalar é
\nabla\varphi(x,y)\cdot(-y,x)=(2x)(-y)+(2y)(x)=0,
mostrando explicitamente que o gradiente é perpendicular à tangente do círculo. Geometricamente: gradiente aponta para fora (radial), tangente circula em volta; são ortogonais.

Resposta

\nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot\mathbf{t}=0 para todo vetor tangente \mathbf{t} à superfície \{\mathbf{r}\mid \varphi(\mathbf{r})=c\}, logo \nabla\varphi(\mathbf{r}) é normal (perpendicular) à superfície equipotencial.

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