Usa-se o guincho manual para elevar a carga de 50 kg. Determine o trabalho necessário para girar a manivela em cinco voltas. A engrenagem
tem raio de 20 mm .
Passo 1
O enunciado pede para determinar o trabalho realizado ao girar a manivela do guincho em cinco voltas, sabendo que a carga é de
e que a engrenagem
tem raio de
. Informações dadas explicitamente:
Importante: falta no enunciado (ou na figura, se houver) informação essencial para calcular numericamente o trabalho: não sabemos se a engrenagem
é o tambor que enrola o cabo (isto é, se o raio que determina o avanço do cabo é
), nem se há uma relação de engrenagens que altera quantas voltas da manivela correspondem a uma volta do tambor. Sem essa informação geométrica ou a relação de transmissão, não é possível obter um valor numérico definitivo. Vou, então, (a) expor passo a passo a fórmula geral que resolve o problema e (b) mostrar o cálculo numérico no caso natural em que a engrenagem
é o tambor (ou seja, o raio que enrola o cabo é
). Se a figura do seu exercício mostrar outra coisa (por exemplo, uma engrenagem ligada a outra com redução), a etapa com valor numérico não se aplica e será preciso usar a relação de engrenagens indicada.
Passo 2
Conceito físico básico (aula curta): o trabalho necessário para elevar uma carga verticalmente é igual à força peso da carga multiplicada pela altura elevada. A força peso é
, onde:
Assim, para deslocamento vertical
(em metros),
Aqui
tem unidades de joules (J), porque
.
Passo 3
Como relacionar as voltas da manivela com a altura
que a carga sobe? Se o cabo está enrolado num tambor de raio
(em metros), cada volta completa do tambor enrola/comprimento do cabo igual à circunferência do tambor,
. Se a manivela dá
voltas e cada volta da manivela corresponde a uma volta do tambor (ou seja, relação de transmissão 1:1), então
Se houver uma relação de engrenagens (razão de transmissão) entre manivela e tambor, digamos que
voltas da manivela correspondem a uma volta do tambor, então a fórmula vira
onde
é conhecido a partir da geometria/engrenagens do problema. Observe que
pode ser maior ou menor que 1 dependendo da redução/multiplicação.
Passo 4
Juntando com
obtemos a expressão geral do trabalho em função dos dados:
Ou, incluindo uma razão de transmissão
(voltas da manivela por volta do tambor),
Aqui:
Passo 5
Unidades e conversões — atenção para fazer na prova sem calculadora:
- Converter
para metros:
- Usar
(valor padrão). Número de voltas .
Lembre-se: se a figura mostrar que
não é o tambor, substitua
pelo raio correto ou aplique a razão
.
Passo 6
Cálculo passo a passo no caso em que a engrenagem
É o tambor (assunção explícita):
- Circunferência do tambor:
- Deslocamento vertical ao dar
voltas:
- Força peso da carga:
- Trabalho:
Valor numérico aproximado:
Passo 7
Interpretação final e motivação: se a figura do seu exercício mostra que a engrenagem
é realmente o tambor que enrola o cabo, então o trabalho necessário para girar a manivela em cinco voltas é cerca de
. Se houver outra engrenagem / redução, você deve usar a fórmula com o fator
do passo 4 para ajustar
(ou fornecer o raio efetivo do tambor). Você está indo bem — falta só confirmar qual peça na figura equivale ao tambor; com isso você consegue aplicar direto a fórmula que derivei.
Resposta
Não é possível determinar numericamente sem a informação de qual raio corresponde ao tambor (ou sem a razão de transmissão entre manivela e tambor).
Se a engrenagem for o tambor (
), então
.
Se a engrenagem