Usa-se o guincho manual para elevar a carga de 50 kg. Determine o trabalho necessário para girar a manivela em cinco voltas. A engrenagem A tem raio de 20 mm .

Passo 1

O enunciado pede para determinar o trabalho realizado ao girar a manivela do guincho em cinco voltas, sabendo que a carga é de \,50\\ \mathrm{kg} e que a engrenagem A tem raio de \,20\\ \mathrm{mm}. Informações dadas explicitamente:
\text{massa } m = 50\\ \mathrm{kg},\qquad r_A = 20\\ \mathrm{mm}.
Importante: falta no enunciado (ou na figura, se houver) informação essencial para calcular numericamente o trabalho: não sabemos se a engrenagem A é o tambor que enrola o cabo (isto é, se o raio que determina o avanço do cabo é r_A), nem se há uma relação de engrenagens que altera quantas voltas da manivela correspondem a uma volta do tambor. Sem essa informação geométrica ou a relação de transmissão, não é possível obter um valor numérico definitivo. Vou, então, (a) expor passo a passo a fórmula geral que resolve o problema e (b) mostrar o cálculo numérico no caso natural em que a engrenagem A é o tambor (ou seja, o raio que enrola o cabo é r_A=20\\ \mathrm{mm}). Se a figura do seu exercício mostrar outra coisa (por exemplo, uma engrenagem ligada a outra com redução), a etapa com valor numérico não se aplica e será preciso usar a relação de engrenagens indicada.

Passo 2

Conceito físico básico (aula curta): o trabalho necessário para elevar uma carga verticalmente é igual à força peso da carga multiplicada pela altura elevada. A força peso é mg, onde:
m=\text{massa (em kg)},\qquad g=\text{aceleração da gravidade (em m/s}^2\text{)}.çã
Assim, para deslocamento vertical \,h (em metros),
\text{trabalho } W = m g h.
Aqui W tem unidades de joules (J), porque 1\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=1\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Como relacionar as voltas da manivela com a altura \,h que a carga sobe? Se o cabo está enrolado num tambor de raio r (em metros), cada volta completa do tambor enrola/comprimento do cabo igual à circunferência do tambor, \,2\pi r. Se a manivela dá N voltas e cada volta da manivela corresponde a uma volta do tambor (ou seja, relação de transmissão 1:1), então
h = N\cdot 2\pi r.
Se houver uma relação de engrenagens (razão de transmissão) entre manivela e tambor, digamos que k voltas da manivela correspondem a uma volta do tambor, então a fórmula vira
h = N\cdot \frac{2\pi r}{k},
onde k é conhecido a partir da geometria/engrenagens do problema. Observe que k pode ser maior ou menor que 1 dependendo da redução/multiplicação.

Passo 4

Juntando com W = m g h obtemos a expressão geral do trabalho em função dos dados:
W = m g \cdot N\cdot 2\pi r_{\text{tambor}} \quad\text{(se a manivela e o tambor giram na mesma razão)}.ã
Ou, incluindo uma razão de transmissão k (voltas da manivela por volta do tambor),
W = m g \cdot N\cdot \frac{2\pi r_{\text{tambor}}}{k}.
Aqui:
m=\text{massa},\quad g=\text{gravidade},\quad N=\text{nº de voltas da manivela},\quad r_{\text{tambor}}=\text{raio do tambor},\quad k=\text{relação manivela:tambor}.ºçã

Passo 5

Unidades e conversões — atenção para fazer na prova sem calculadora:
  • Converter \,20\\ \mathrm{mm} para metros:
r_A = 20\\ \mathrm{mm} = 0,02\\ \mathrm{m}.
  • Usar g=9,81\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão). Número de voltas N=5.
Lembre-se: se a figura mostrar que A não é o tambor, substitua r_{\text{tambor}} pelo raio correto ou aplique a razão k.

Passo 6

Cálculo passo a passo no caso em que a engrenagem A É o tambor (assunção explícita):
  1. Circunferência do tambor:
2\pi r_A = 2\pi\cdot 0,02\\ \mathrm{m} = 0,04\pi\\ \mathrm{m}\approx 0,1256637\\ \mathrm{m}.
  1. Deslocamento vertical ao dar N=5 voltas:
h = 5\cdot 2\pi r_A = 5\cdot 0,04\pi\\ \mathrm{m} = 0,2\pi\\ \mathrm{m}\approx 0,6283185\\ \mathrm{m}.
  1. Força peso da carga:
m g = 50\cdot 9,81 = 490,5\\ \mathrm{N}.
  1. Trabalho:
W = m g h = 490,5\cdot 0,2\pi = 98,1\pi\\ \mathrm{J}.
Valor numérico aproximado:
W \approx 98,1\cdot 3,14159265 \approx 308,19\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Interpretação final e motivação: se a figura do seu exercício mostra que a engrenagem A é realmente o tambor que enrola o cabo, então o trabalho necessário para girar a manivela em cinco voltas é cerca de \,308{,}2\\ \mathrm{J}. Se houver outra engrenagem / redução, você deve usar a fórmula com o fator k do passo 4 para ajustar h (ou fornecer o raio efetivo do tambor). Você está indo bem — falta só confirmar qual peça na figura equivale ao tambor; com isso você consegue aplicar direto a fórmula que derivei.

Resposta

Não é possível determinar numericamente sem a informação de qual raio corresponde ao tambor (ou sem a razão de transmissão entre manivela e tambor).
Se a engrenagem A for o tambor ( r_A=20\\ \mathrm{mm}), então W \approx 308{,}19\\ \mathrm{J}.

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