O carro E do elevador tem massa de 1,80 \mathrm{t}\left(1 \mathrm{t}=10^{3}\right. kg ) e o contrapeso C, de 2,30 \mathrm{t}. Se o motor aplica na roldana A um torque constante M=100 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}, determine a velocidade do elevador após ter subido 10 m , partindo do repouso. As roldanas A e B têm cada uma massa de 150 kg e raio de giração k=0,2 \mathrm{~m}, em relação ao centro de massa. Despreze a massa do cabo e considere que ele nāo escorrega nas roldanas.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade do elevador após subir 10\\ \mathrm{m}, partindo do repouso, dado um torque constante M=100\\ \mathrm{N\cdot m} aplicado na roldana A. Informações fornecidas e relevantes:
desprezar massa do cabo e assumir que o cabo não escorrega nas roldanas.
Informação importante ausente (necessária para obter um valor numérico único): o raio geométrico das roldanas R (ou a relação geométrica entre o ângulo girado e o deslocamento linear). Sem o valor de R não é possível calcular um número único para a velocidade — posso, no entanto, deduzir a fórmula geral com R e avaliar exemplos para hipóteses plausíveis.
Passo 2
Escolha do método e conceito principal (aula rápida e prática): vamos usar a conservação de energia (princípio trabalho-energia). A ideia é somar a energia que entra no sistema pela gravidade e pelo motor e igualar ao acréscimo de energia cinética (translacional das massas + rotacional das roldanas). Isso é conveniente porque o torque é dado constante e o cabo não escorrega (logo existe relação linear entre deslocamento s e rotação \theta da roldana).
Definições e fórmulas úteis (explicadas passo a passo):
Trabalho realizado pela força peso quando o carro sobe s: como o contrapeso desce s, a contribuição líquida de energia proveniente da gravidade é
W_{\text{grav}}=(m_C-m_E)g\,s,
porque o contrapeso m_C perde energia potencial e o carro m_E ganha; a diferença é energia disponível para acelerar o sistema.
Trabalho realizado pelo motor (torque constante M): se a roldana A gira um ângulo \theta durante o deslocamento, o trabalho do motor é
W_{\text{motor}}=M\,\theta.
Como o cabo não escorrega, deslocamento linear s relaciona-se com a rotação por s=R\theta, logo \theta=s/R. Assim
W_{\text{motor}}=\dfrac{M\,s}{R}.
(atenção ao sinal: aqui estou assumindo o torque no sentido que entrega energia ao movimento; se o motor resistir, o termo recebe sinal negativo — o enunciado não dá o sentido, mas como o contrapeso é mais pesado, ele fornece energia; o torque positivo soma-se.)
Energia cinética total após deslocamento (todas as partes com velocidade escalar v): as duas massas m_E e m_C têm velocidade v (módulo igual), e as duas roldanas giram com velocidade angular \omega=v/R. O momento de inércia de cada roldana é I=m_p k^2. Logo
Repare que, mesmo mudando a hipótese, o resultado fica da mesma ordem (\approx 4{,}95–4{,}98\\ \mathrm{m/s}) — portanto a velocidade não é extremamente sensível a variações razoáveis de R.
Resposta
Não é possível determinar numericamente v sem o raio geométrico R das roldanas. A velocidade em função de R é: