O carro E do elevador tem massa de 1,80 \mathrm{t}\left(1 \mathrm{t}=10^{3}\right. kg ) e o contrapeso C, de 2,30 \mathrm{t}. Se o motor aplica na roldana A um torque constante M=100 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}, determine a velocidade do elevador após ter subido 10 m , partindo do repouso. As roldanas A e B têm cada uma massa de 150 kg e raio de giração k=0,2 \mathrm{~m}, em relação ao centro de massa. Despreze a massa do cabo e considere que ele nāo escorrega nas roldanas.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade do elevador após subir 10\\ \mathrm{m}, partindo do repouso, dado um torque constante M=100\\ \mathrm{N\cdot m} aplicado na roldana A. Informações fornecidas e relevantes:
m_E = 1{,}80\\ \mathrm{t}=1{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{kg},
m_C = 2{,}30\\ \mathrm{t}=2{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{kg},
M = 100\\ \mathrm{N\cdot m},
\text{cada roldana: } m_p = 150\\ \mathrm{kg},\quad k=0{,}2\\ \mathrm{m}\\ (\text{raio de giração}),çã
s = 10\\ \mathrm{m},
desprezar massa do cabo e assumir que o cabo não escorrega nas roldanas.
Informação importante ausente (necessária para obter um valor numérico único): o raio geométrico das roldanas R (ou a relação geométrica entre o ângulo girado e o deslocamento linear). Sem o valor de R não é possível calcular um número único para a velocidade — posso, no entanto, deduzir a fórmula geral com R e avaliar exemplos para hipóteses plausíveis.

Passo 2

Escolha do método e conceito principal (aula rápida e prática): vamos usar a conservação de energia (princípio trabalho-energia). A ideia é somar a energia que entra no sistema pela gravidade e pelo motor e igualar ao acréscimo de energia cinética (translacional das massas + rotacional das roldanas). Isso é conveniente porque o torque é dado constante e o cabo não escorrega (logo existe relação linear entre deslocamento s e rotação \theta da roldana).
Definições e fórmulas úteis (explicadas passo a passo):
  • Trabalho realizado pela força peso quando o carro sobe s: como o contrapeso desce s, a contribuição líquida de energia proveniente da gravidade é
W_{\text{grav}}=(m_C-m_E)g\,s,
porque o contrapeso m_C perde energia potencial e o carro m_E ganha; a diferença é energia disponível para acelerar o sistema.
  • Trabalho realizado pelo motor (torque constante M): se a roldana A gira um ângulo \theta durante o deslocamento, o trabalho do motor é
W_{\text{motor}}=M\,\theta.
Como o cabo não escorrega, deslocamento linear s relaciona-se com a rotação por s=R\theta, logo \theta=s/R. Assim
W_{\text{motor}}=\dfrac{M\,s}{R}.
(atenção ao sinal: aqui estou assumindo o torque no sentido que entrega energia ao movimento; se o motor resistir, o termo recebe sinal negativo — o enunciado não dá o sentido, mas como o contrapeso é mais pesado, ele fornece energia; o torque positivo soma-se.)
  • Energia cinética total após deslocamento (todas as partes com velocidade escalar v): as duas massas m_E e m_C têm velocidade v (módulo igual), e as duas roldanas giram com velocidade angular \omega=v/R. O momento de inércia de cada roldana é I=m_p k^2. Logo
K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2}(m_E+m_C)v^2,
K_{\text{rot}}=2\cdot\tfrac{1}{2}I\omega^2 = I\omega^2 = I\frac{v^2}{R^2}.
  • Equação de energia (começando do repouso, energia cinética inicial nula):
W_{\text{grav}}+W_{\text{motor}} = K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}.
Substituindo as expressões:
(m_C-m_E)g\,s + \dfrac{M s}{R} = \tfrac{1}{2}(m_E+m_C)v^2 + I\frac{v^2}{R^2}.

Passo 3

Isolando v^2 da equação acima (desenvolvimento algébrico passo a passo):
  1. Multiplico ambos os lados por 2 para remover os meios:
2(m_C-m_E)g\,s + \dfrac{2M s}{R} = (m_E+m_C)v^2 + \dfrac{2I v^2}{R^2}.
  1. Coloco os termos com v^2 em evidência:
\Bigl(m_E+m_C + \dfrac{2I}{R^2}\Bigr)v^2 = 2s\Bigl((m_C-m_E)g + \dfrac{M}{R}\Bigr).
  1. Portanto a velocidade v após deslocamento s é
\boxed{\,v = \sqrt{\dfrac{2s\Bigl((m_C-m_E)g + \dfrac{M}{R}\Bigr)}{\,m_E+m_C + \dfrac{2I}{R^2}\,}}\,.}
Aqui I é o momento de inércia de uma roldana: I=m_p k^2.

Passo 4

Substituições numéricas parciais (cálculo do momento de inércia e simplificação simbólica):
I = m_p k^2 = 150\cdot(0{,}2)^2 = 150\cdot0{,}04 = 6\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Substituindo m_E=1800\\ \mathrm{kg}, m_C=2300\\ \mathrm{kg}, s=10\\ \mathrm{m}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, M=100\\ \mathrm{N\cdot m} e I=6\\ \mathrm{kg\cdot m^2} na fórmula obtemos a expressão numérica em função de R:
v=\sqrt{\dfrac{20\left(4905 + \dfrac{100}{R}\right)}{4100 + \dfrac{12}{R^2}}}\quad\text{(unidades SI)}.
Observação prática: como o enunciado não fornece R, não há um único valor numérico. Para te dar intuição, avalio dois casos plausíveis:
Caso A — supondo que a roldana seja um anel fino (ou que seu raio geométrico seja igual ao raio de giração), isto é R=k=0{,}2\\ \mathrm{m}:
v=\sqrt{\dfrac{20\left(4905 + \dfrac{100}{0{,}2}\right)}{4100 + \dfrac{12}{(0{,}2)^2}}} =\sqrt{\dfrac{108100}{4400}}\approx 4{,}96\\ \mathrm{m/s}.
Caso B — supondo que a roldana seja um disco sólido (para o qual k=R/\sqrt{2}, logo R=k\sqrt{2}\approx0{,}283\\ \mathrm{m}):
v=\sqrt{\dfrac{20\left(4905 + \dfrac{100}{0{,}283}\right)}{4100 + \dfrac{12}{(0{,}283)^2}}} \approx 4{,}98\\ \mathrm{m/s}.
Repare que, mesmo mudando a hipótese, o resultado fica da mesma ordem ( \approx 4{,}95 4{,}98\\ \mathrm{m/s}) — portanto a velocidade não é extremamente sensível a variações razoáveis de R.

Resposta

Não é possível determinar numericamente v sem o raio geométrico R das roldanas. A velocidade em função de R é:
v=\sqrt{\dfrac{2s\Bigl((m_C-m_E)g + \dfrac{M}{R}\Bigr)}{m_E+m_C + \dfrac{2I}{R^2}}},
com I=m_p k^2=6\\ \mathrm{kg\cdot m^2}. Ex.: se R=0{,}20\\ \mathrm{m}, v\approx4{,}96\\ \mathrm{m/s}; se R\approx0{,}283\\ \mathrm{m}, v\approx4{,}98\\ \mathrm{m/s}.

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