Uma plataforma circular horizontal tem peso de 300 lb e raio de giração
pés em relação ao eixo
passando pelo seu centro
. A plataforma pode girar livremente em torno do eixo
e está inicialmente em repouso. Um homem com peso de 150 lb atira um bloco de 15 lb para fora da plataforma, com uma velocidade horizontal de 5 pés/s, medida relativamente à plataforma. Determine a velocidade angular da plataforma se o bloco é atirado
ao longo da linha radial ou eixo
. Despreze o tamanho do homem.
ao longo da linha radial ou eixo
Passo 1
O enunciado pede para determinar a velocidade angular da plataforma depois que o bloco é atirado radialmente para fora. Dados fornecidos:
- peso da plataforma:
lb; - raio de giração da plataforma:
ft (em relação ao eixo passando pelo centro ); - peso do homem:
lb (o tamanho do homem é desprezado, ou seja, ele é tratado como ponto); - peso do bloco:
lb; - velocidade do bloco relativa à plataforma no momento do arremesso:
ft/s, direção horizontal ao longo da linha radial (eixo ); - a plataforma pode girar livremente em torno do eixo
e o sistema está inicialmente em repouso.
A pergunta a responder: qual é a velocidade angular final
da plataforma (após o arremesso) quando o bloco é lançado ao longo da linha radial?
Passo 2
Vamos escolher o sistema e a lei a usar. Como não há torques externos sobre o conjunto (plataforma + homem + bloco) em torno do eixo vertical que passa por
(supõe‑se pivô livre sem atrito ou torques externos azimutais), vale a conservação do momento angular em torno de
. Em palavras: o momento angular total do sistema antes do arremesso deve ser igual ao momento angular total depois do arremesso.
Explicação rápida do conceito que vamos usar: o momento angular (ou momento de quantidade de movimento) de um sistema em relação a um ponto
é a soma das quantidades
(para corpos rígidos) e dos momentos
(para partículas), onde:
-
é o momento de inércia (em slug·ft^2 nos nossos cálculos se precisássemos numerar), -
é a velocidade angular (em rad/s), -
é o vetor posição do centro de massa da partícula em relação a , -
é o momento linear da partícula (com massa e velocidade linear).
A operaçãoé o produto vetorial: dá zero se os vetores são paralelos.
Passo 3
Calcule o momento angular inicial. O sistema está inicialmente em repouso, logo a velocidade angular inicial é
e todas as velocidades lineares são nulas. Portanto o momento angular total inicial é
Passo 4
Escreva o momento angular final logo após o arremesso. Depois do arremesso há duas contribuições principais:
- momento angular da plataforma + homem vistos como corpo(s) rígido(s) que giram com velocidade
: escrevemos isso como , onde é o momento de inércia combinado da plataforma mais o homem em relação a (não precisamos calcular seu valor numérico para este caso); - momento angular do bloco tratado como partícula, que é
com .
Assim o momento angular final é
Passo 5
Avalie o termo
do bloco. Pelo enunciado o bloco é lançado ao longo da linha radial (direção de
), ou seja, sua velocidade é radial, isto é, o vetor velocidade
é colinear com o vetor posição
(ambos apontam ao longo do raio que sai de
). O produto vetorial de dois vetores paralelos é zero. Portanto
Aqui vale reforçar a ideia: o momento angular de uma partícula em relação a
é
onde
é o ângulo entre
e
. Se
é radial, então
e
, logo o momento angular é zero.
Passo 6
Aplique a conservação do momento angular:
. Como
e o termo do bloco é zero, ficamos com
O momento de inércia
não é zero (plataforma + homem têm inércia finita), logo a única solução é
Interpretação física: lançar o bloco radialmente não cria momento angular porque a reação da força que o homem aplica no bloco é ao longo da linha que passa por
, sem braço de alavanca; assim nenhuma rotação é gerada no conjunto.