Uma plataforma circular horizontal tem peso de 300 lb e raio de giração k_{z}=8 pés em relação ao eixo z passando pelo seu centro O. A plataforma pode girar livremente em torno do eixo z e está inicialmente em repouso. Um homem com peso de 150 lb atira um bloco de 15 lb para fora da plataforma, com uma velocidade horizontal de 5 pés/s, medida relativamente à plataforma. Determine a velocidade angular da plataforma se o bloco é atirado
ao longo da linha radial ou eixo +n. Despreze o tamanho do homem.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade angular da plataforma depois que o bloco é atirado radialmente para fora. Dados fornecidos:
  • peso da plataforma: 300 lb;
  • raio de giração da plataforma: k_{z}=8 ft (em relação ao eixo z passando pelo centro O);
  • peso do homem: 150 lb (o tamanho do homem é desprezado, ou seja, ele é tratado como ponto);
  • peso do bloco: 15 lb;
  • velocidade do bloco relativa à plataforma no momento do arremesso: 5 ft/s, direção horizontal ao longo da linha radial (eixo +n);
  • a plataforma pode girar livremente em torno do eixo z e o sistema está inicialmente em repouso.
A pergunta a responder: qual é a velocidade angular final \omega da plataforma (após o arremesso) quando o bloco é lançado ao longo da linha radial?

Passo 2

Vamos escolher o sistema e a lei a usar. Como não há torques externos sobre o conjunto (plataforma + homem + bloco) em torno do eixo vertical que passa por O (supõe‑se pivô livre sem atrito ou torques externos azimutais), vale a conservação do momento angular em torno de O. Em palavras: o momento angular total do sistema antes do arremesso deve ser igual ao momento angular total depois do arremesso.
Explicação rápida do conceito que vamos usar: o momento angular (ou momento de quantidade de movimento) de um sistema em relação a um ponto O é a soma das quantidades I\omega (para corpos rígidos) e dos momentos \mathbf{r}\times \mathbf{p} (para partículas), onde:
  • I é o momento de inércia (em slug·ft^2 nos nossos cálculos se precisássemos numerar),
  • \omega é a velocidade angular (em rad/s),
  • \mathbf{r} é o vetor posição do centro de massa da partícula em relação a O,
  • \mathbf{p}=m\mathbf{v} é o momento linear da partícula (com m massa e \mathbf{v} velocidade linear).
    A operação \times é o produto vetorial: dá zero se os vetores são paralelos.

Passo 3

Calcule o momento angular inicial. O sistema está inicialmente em repouso, logo a velocidade angular inicial é \omega_{i}=0 e todas as velocidades lineares são nulas. Portanto o momento angular total inicial é
L_i = 0.

Passo 4

Escreva o momento angular final logo após o arremesso. Depois do arremesso há duas contribuições principais:
  1. momento angular da plataforma + homem vistos como corpo(s) rígido(s) que giram com velocidade \omega: escrevemos isso como I_{\text{pm}}\,\omega, onde I_{\text{pm}} é o momento de inércia combinado da plataforma mais o homem em relação a O (não precisamos calcular seu valor numérico para este caso);
  2. momento angular do bloco tratado como partícula, que é \mathbf{r}\times \mathbf{p} com \mathbf{p}=m_{\text{b}}\mathbf{v}_{\text{b}}.
Assim o momento angular final é
L_f = I_{\text{pm}}\,\omega + \mathbf{r}\times (m_{\text{b}}\mathbf{v}_{\text{b}}).

Passo 5

Avalie o termo \mathbf{r}\times (m_{\text{b}}\mathbf{v}_{\text{b}}) do bloco. Pelo enunciado o bloco é lançado ao longo da linha radial (direção de +n), ou seja, sua velocidade é radial, isto é, o vetor velocidade \mathbf{v}_{\text{b}} é colinear com o vetor posição \mathbf{r} (ambos apontam ao longo do raio que sai de O). O produto vetorial de dois vetores paralelos é zero. Portanto
\mathbf{r}\times (m_{\text{b}}\mathbf{v}_{\text{b}})=\mathbf{0}.
Aqui vale reforçar a ideia: o momento angular de uma partícula em relação a O é m(r v \sin\theta) onde \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{v}. Se \mathbf{v} é radial, então \theta=0 e \sin\theta=0, logo o momento angular é zero.

Passo 6

Aplique a conservação do momento angular: L_i=L_f. Como L_i=0 e o termo do bloco é zero, ficamos com
0 = I_{\text{pm}}\,\omega + 0 \quad\Longrightarrow\quad I_{\text{pm}}\,\omega = 0.
O momento de inércia I_{\text{pm}} não é zero (plataforma + homem têm inércia finita), logo a única solução é
\omega = 0.
Interpretação física: lançar o bloco radialmente não cria momento angular porque a reação da força que o homem aplica no bloco é ao longo da linha que passa por O, sem braço de alavanca; assim nenhuma rotação é gerada no conjunto.

Resposta

\omega = 0 rad/s

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