Questão 3. Um viga engastada em uma extremidade, tem 2,7 m de comprimento e seção transversal circular, está sob a ação de uma carga de 4 KN em sua extremidade livre. O material é de aço e a tensão admissível é
. Determinar o diâmetro da barra.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o diâmetro da barra (seção transversal circular) de uma viga engastada numa extremidade, sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre. Dados fornecidos (vou listar tudo com cuidado):
- Comprimento da viga:
. - Carga concentrada na extremidade livre:
. - Tensão admissível do material:
. - Seção transversal: circular de diâmetro
(é isso que queremos achar).
O que devemos calcular: o valor do diâmetro, de modo que a tensão de flexão máxima na seção engastada não passe de .
Passo 2
Entendendo a solicitação: a máxima tendência de flexão numa viga biunilateral (engastada numa extremidade) com carga concentrada na ponta ocorre na secção do engaste, e a momento fletor nessa seção vale
Explicando essa fórmula: o momento fletor devido a uma força concentrada aplicada a uma distância
de um ponto é simplesmente o produto da força pela distância; aqui queremos o momento na raiz (engaste), portanto
.
Calculemos
:
Passo 3
Fórmula da tensão de flexão e as quantidades geométricas da seção circular.
A tensão de flexão máxima na fibra mais externa é dada por
onde:
-
é o momento fletor na seção (N·m), -
é a distância do centroide até a fibra mais externa; para um círculo de diâmetro temos , -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro; para seção circular de diâmetro :
Explicando um pouco:
mede a distribuição da área em torno do eixo neutro; quanto maior
mais resistente a flexão. A fórmula de
vem da teoria clássica da flexão (adora aquela relação linear entre tensão e distância ao neutro).
Substituindo
e
na expressão de
, obtemos:
Portanto a relação entre tensão admissível e diâmetro é
Passo 4
Colocando tudo em unidades consistentes e isolando
.
Primeiro convertemos a tensão admissível para
(SI):
logo
Agora isolamos
na fórmula
:
Passo 5
Substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo.
Numerador:
Denominador:
Razão:
Agora extraímos a raiz cúbica:
Convertendo para milímetros (mais prático para diâmetros de barras):
Comentando rapidamente (útil para a prova): se for necessário escolher um diâmetro comercial, arredonda-se para cima para garantir segurança (por exemplo
), mas matematicamente o diâmetro mínimo calculado é o acima.