Questão 3. Um viga engastada em uma extremidade, tem 2,7 m de comprimento e seção transversal circular, está sob a ação de uma carga de 4 KN em sua extremidade livre. O material é de aço e a tensão admissível é 1440 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}^{2}. Determinar o diâmetro da barra.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o diâmetro da barra (seção transversal circular) de uma viga engastada numa extremidade, sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre. Dados fornecidos (vou listar tudo com cuidado):

  • Comprimento da viga: L=2,7\\ \mathrm{m}.
  • Carga concentrada na extremidade livre: P=4\\ \mathrm{kN}=4000\\ \mathrm{N}.
  • Tensão admissível do material: \sigma_{\mathrm{adm}}=1440\\ \mathrm{N/cm^{2}}.
  • Seção transversal: circular de diâmetro d (é isso que queremos achar).


    O que devemos calcular: o valor do diâmetro \,d, de modo que a tensão de flexão máxima na seção engastada não passe de \sigma_{\mathrm{adm}}.

Passo 2

Entendendo a solicitação: a máxima tendência de flexão numa viga biunilateral (engastada numa extremidade) com carga concentrada na ponta ocorre na secção do engaste, e a momento fletor nessa seção vale
M = P\cdot L.
Explicando essa fórmula: o momento fletor devido a uma força concentrada aplicada a uma distância L de um ponto é simplesmente o produto da força pela distância; aqui queremos o momento na raiz (engaste), portanto M=P\,L.
Calculemos M:
M = 4000\\ \mathrm{N}\times 2,7\\ \mathrm{m}=10800\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Fórmula da tensão de flexão e as quantidades geométricas da seção circular.
A tensão de flexão máxima na fibra mais externa é dada por
\sigma = \frac{M\,c}{I},
onde:
  • M é o momento fletor na seção (N·m),
  • c é a distância do centroide até a fibra mais externa; para um círculo de diâmetro d temos c=\dfrac{d}{2},
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro; para seção circular de diâmetro d:
I = \frac{\pi d^{4}}{64}.
Explicando um pouco: I mede a distribuição da área em torno do eixo neutro; quanto maior I mais resistente a flexão. A fórmula de \sigma vem da teoria clássica da flexão (adora aquela relação linear entre tensão e distância ao neutro).
Substituindo c e I na expressão de \sigma, obtemos:
\sigma = \frac{M\,(d/2)}{\pi d^{4}/64} = \frac{M\,(d/2)\cdot 64}{\pi d^{4}} = \frac{32\,M}{\pi d^{3}}.
Portanto a relação entre tensão admissível e diâmetro é
\sigma_{\mathrm{adm}} = \frac{32\,M}{\pi d^{3}}.

Passo 4

Colocando tudo em unidades consistentes e isolando d.
Primeiro convertemos a tensão admissível para \mathrm{N/m^{2}} (SI):
1\\ \mathrm{N/cm^{2}} = 10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}},
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\sigma_{\mathrm{adm}} = 1440\\ \mathrm{N/cm^{2}} = 1440\times 10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}} = 1,44\times 10^{7}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Agora isolamos d na fórmula \sigma_{\mathrm{adm}} = \dfrac{32M}{\pi d^{3}}:
d^{3} = \frac{32\,M}{\pi\,\sigma_{\mathrm{adm}}}.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo.
Numerador:
32\,M = 32 \times 10800 = 345600.
Denominador:
\pi\,\sigma_{\mathrm{adm}} = \pi \times 1,44\times 10^{7}\\ \mathrm{N/m^{2}} \approx 3{,}1416\times 1{,}44\times 10^{7}=4{,}523893\times 10^{7}.
Razão:
d^{3} = \frac{345600}{4{,}523893\times 10^{7}}\approx 7{,}6399\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora extraímos a raiz cúbica:
d = \sqrt[3]{7{,}6399\times 10^{-3}}\approx 0{,}1969\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros (mais prático para diâmetros de barras):
d \approx 0{,}1969\\ \mathrm{m}=196{,}9\\ \mathrm{mm}.
Comentando rapidamente (útil para a prova): se for necessário escolher um diâmetro comercial, arredonda-se para cima para garantir segurança (por exemplo 200\\ \mathrm{mm}), mas matematicamente o diâmetro mínimo calculado é o acima.

Resposta

d \approx 0{,}1969\\ \mathrm{m} = 196{,}9\\ \mathrm{mm}

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