Um carro faz uma curva de 200 m de raio, enquanto aumenta a magnitude de sua velocidade a uma taxa constante de 0,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{\wedge} 2. Em um certo instante ta, a magnitude da aceleracao total vale 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{\wedge} 2. Qual é a magnitude da velocidade do carro no instante ta em Km/h?]

Passo 1

O enunciado dá essas informações (todas em unidades SI, peguei os números do enunciado):
  • raio da curva: r=200\\ \mathrm{m}.
  • taxa constante de variação da velocidade (aceleração tangencial): a_t=0,8\\ \mathrm{m/s}^2.
  • magnitude da aceleração total num instante t_a: a_{\text{tot}}=1,5\\ \mathrm{m/s}^2.
O que o problema pede:
  • determinar a magnitude da velocidade do carro no instante t_a, e apresentar o resultado em \mathrm{km/h}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação passo a passo, bem didática):
  • Para movimento curvilíneo a aceleração total \vec a pode ser decomposta em duas componentes perpendiculares:
    • componente tangencial \vec a_t, que altera a velocidade escalar v (ou seja, \,a_t=\dfrac{dv}{dt}\,);
    • componente normal (centrípeta) \vec a_n, que muda a direção da velocidade e tem magnitude \,a_n=\dfrac{v^2}{r}\,.
  • Como \vec a_t e \vec a_n são perpendiculares, a magnitude da aceleração total satisfaz a relação de Pitágoras:
a_{\text{tot}}=\sqrt{a_t^2+a_n^2}.
  • Aqui cada variável significa:
    • a_{\text{tot}}: magnitude da aceleração total (dada),
    • a_t: aceleração tangencial (dada),
    • a_n: aceleração normal (relacionada à velocidade pela fórmula a_n=v^2/r),
    • v: velocidade escalar que queremos achar,
    • r: raio da curva (dado).

Passo 3

Isolando a_n a partir da relação pitagórica:
a_n=\sqrt{a_{\text{tot}}^2-a_t^2}.
Agora calculamos numericamente (mostrando as contas):
a_{\text{tot}}^2=(1,5)^2=2,25, \qquad a_t^2=(0,8)^2=0,64,
a_n=\sqrt{2,25-0,64}=\sqrt{1,61}\approx1,268\\ \mathrm{m/s}^2.

Passo 4

Usando a_n=\dfrac{v^2}{r} para achar v. Primeiro isolamos v^2:
v^2=r\,a_n.
Substituindo valores:
v^2=200\cdot 1,268\approx253,6.
Então
v=\sqrt{253,6}\approx15,92\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Converter de \mathrm{m/s} para \mathrm{km/h}. Fator de conversão: 1\\ \mathrm{m/s}=3,6\\ \mathrm{km/h}. Portanto
v_{\mathrm{km/h}}=v_{\mathrm{m/s}}\times3,6\approx15,92\times3,6\approx57,31\\ \mathrm{km/h}.
Arredondando de forma coerente, podemos escrever v\approx57,3\\ \mathrm{km/h}.

Resposta

57,3\\ \mathrm{km/h}

Exercícios relacionados