Para os próximos 2 itens, considere: Se a aceleração angular variasse de modo proporcional ao ângulo de rotação:
\alpha(\theta)=\lambda \theta,
2.c) qual seria o valor da constante \lambda ? Apresente resposta com valor, sinal e unidade
\begin{aligned} \omega^{2} & =\omega_{0}^{2}+2 \int_{0}^{\theta} \alpha(\theta) d \theta \\\\ 0 & =\frac{9 \pi^{2}}{4} \frac{\mathrm{rad}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}+2 \int_{0}^{2,5 \mathrm{rev}} \lambda \theta d \theta=\frac{9 \pi^{2}}{4} \frac{\mathrm{rad}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}+2 \lambda \int_{0}^{5 \pi \mathrm{rad}} \theta d \theta \\\\ 0 & =\frac{9 \pi^{2}}{4} \frac{\mathrm{rad}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}+\left.2 \lambda \frac{\theta^{2}}{2}\right|_{0} ^{5 \pi \mathrm{rad}}=\frac{9 \pi^{2}}{4} \frac{\mathrm{rad}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}+\lambda 25 \pi^{2} \mathrm{rad}^{2} \end{aligned}
Donde:
\lambda=-\frac{9}{100} \overline{\mathrm{~s}^{2}}=-\left(\frac{3}{10} \frac{1}{\mathrm{~s}}\right)^{2}=-(0,333 \mathrm{~Hz})^{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A aceleração angular depende do ângulo segundo \alpha(\theta)=\lambda \theta.
    • Relação usada entre velocidade angular e aceleração angular: \omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\int_{0}^{\theta}\alpha(\theta)\,d\theta.
    • Valor dado para \omega_{0}^{2}: \omega_{0}^{2}=\frac{9\pi^{2}}{4}\\ \mathrm{rad}^{2}\mathrm{s}^{-2}.
    • Condição final: a velocidade angular final é zero, portanto \omega^{2}=0 no ângulo final.
    • Ângulo final dado em revoluções: \theta_{\text{final}}=2{,}5\\ \text{rev}. Em radianos isso vale \theta_{\text{final}}=2{,}5\times 2\pi =5\pi\\ \mathrm{rad}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o valor da constante \lambda, com sinal e unidade.

Passo 2

Entender a fórmula que relaciona \omega e \alpha e por que ela vale.
  • Definição: aceleração angular instantânea é \alpha=\dfrac{d\omega}{dt}.
  • Podemos usar a troca de variável t\mapsto\theta pois \dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d\omega}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=\omega\frac{d\omega}{d\theta}.
  • Reescrevendo: \alpha(\theta)=\omega\frac{d\omega}{d\theta}.
  • Integrando ambos os lados com respeito a \theta de 0 a \theta obtemos \int_{ \omega_{0}}^{\omega}\!2\omega\,d\omega=2\int_{0}^{\theta}\alpha(\theta)\,d\theta,que leva à fórmula usada: \omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\int_{0}^{\theta}\alpha(\theta)\,d\theta.
  • Aqui \omega_{0} é a velocidade angular inicial (em \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}), \omega é a velocidade angular em \theta e \alpha(\theta) tem unidades \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-2}.

Passo 3

Substituir \alpha(\theta)=\lambda\theta na integral e calcular o termo integral passo a passo.
  • Colocando na fórmula e usando que \omega^{2}=0 no ângulo final \theta=5\pi: 0=\omega_{0}^{2}+2\int_{0}^{5\pi}\lambda\theta\,d\theta.
  • O fator \lambda é constante, sai da integral: 0=\omega_{0}^{2}+2\lambda\int_{0}^{5\pi}\theta\,d\theta.
  • Calcular a integral elementar: \int_{0}^{5\pi}\theta\,d\theta=\left.\frac{\theta^{2}}{2}\right|_{0}^{5\pi}=\frac{(5\pi)^{2}}{2}=\frac{25\pi^{2}}{2}.
  • Portanto 0=\omega_{0}^{2}+2\lambda\cdot\frac{25\pi^{2}}{2}=\omega_{0}^{2}+\lambda\cdot 25\pi^{2}.

Passo 4

Isolar \lambda e simplificar usando o valor de \omega_{0}^{2}.
  • Da última equação: \lambda=-\frac{\omega_{0}^{2}}{25\pi^{2}}.
  • Substituindo \omega_{0}^{2}=\dfrac{9\pi^{2}}{4}: \lambda=-\frac{\dfrac{9\pi^{2}}{4}}{25\pi^{2}}=-\frac{9}{4\cdot 25}=-\frac{9}{100}.
  • Unidades: \omega_{0}^{2} tem unidade \mathrm{rad}^{2}\mathrm{s}^{-2} e o denominador 25\pi^{2} tem unidade \mathrm{rad}^{2}, logo as radianas cancelam e \lambda tem unidade \mathrm{s}^{-2}.
  • Em forma decimal (usando vírgula): \lambda=-\frac{9}{100}=-0,09\\ \mathrm{s^{-2}}.

Passo 5

Interpretação curta e checagem de consistência.
  • Sinal: \lambda é negativo, o que faz sentido físico: \alpha(\theta)=\lambda\theta com \lambda<0 significa que a aceleração angular aponta no sentido que diminui a velocidade quando \theta>0 (é uma desaceleração proporcional ao deslocamento angular).
  • Forma alternativa útil: \lambda=-\left(\frac{3}{10}\\ \mathrm{s^{-1}}\right)^{2}=-\left(0,3\\ \mathrm{s^{-1}}\right)^{2},cujo valor numérico é -0,09\\ \mathrm{s^{-2}}.

Resposta

\lambda=-\dfrac{9}{100}\\ \mathrm{s^{-2}}=-0,09\\ \mathrm{s^{-2}}

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