Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
A aceleração angular depende do ângulo segundo \alpha(\theta)=\lambda \theta.
Relação usada entre velocidade angular e aceleração angular:\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\int_{0}^{\theta}\alpha(\theta)\,d\theta.
Valor dado para \omega_{0}^{2}:\omega_{0}^{2}=\frac{9\pi^{2}}{4}\\ \mathrm{rad}^{2}\mathrm{s}^{-2}.
Condição final: a velocidade angular final é zero, portanto \omega^{2}=0 no ângulo final.
Ângulo final dado em revoluções: \theta_{\text{final}}=2{,}5\\ \text{rev}. Em radianos isso vale\theta_{\text{final}}=2{,}5\times 2\pi =5\pi\\ \mathrm{rad}.
O que o enunciado pede:
Determinar o valor da constante \lambda, com sinal e unidade.
Passo 2
Entender a fórmula que relaciona \omega e \alpha e por que ela vale.
Definição: aceleração angular instantânea é \alpha=\dfrac{d\omega}{dt}.
Podemos usar a troca de variável t\mapsto\theta pois \dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d\omega}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=\omega\frac{d\omega}{d\theta}.
Integrando ambos os lados com respeito a \theta de 0 a \theta obtemos\int_{ \omega_{0}}^{\omega}\!2\omega\,d\omega=2\int_{0}^{\theta}\alpha(\theta)\,d\theta,que leva à fórmula usada:\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\int_{0}^{\theta}\alpha(\theta)\,d\theta.
Aqui \omega_{0} é a velocidade angular inicial (em \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}), \omega é a velocidade angular em \theta e \alpha(\theta) tem unidades \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-2}.
Passo 3
Substituir \alpha(\theta)=\lambda\theta na integral e calcular o termo integral passo a passo.
Colocando na fórmula e usando que \omega^{2}=0 no ângulo final \theta=5\pi:0=\omega_{0}^{2}+2\int_{0}^{5\pi}\lambda\theta\,d\theta.
O fator \lambda é constante, sai da integral:0=\omega_{0}^{2}+2\lambda\int_{0}^{5\pi}\theta\,d\theta.
Calcular a integral elementar:\int_{0}^{5\pi}\theta\,d\theta=\left.\frac{\theta^{2}}{2}\right|_{0}^{5\pi}=\frac{(5\pi)^{2}}{2}=\frac{25\pi^{2}}{2}.
Unidades: \omega_{0}^{2} tem unidade \mathrm{rad}^{2}\mathrm{s}^{-2} e o denominador 25\pi^{2} tem unidade \mathrm{rad}^{2}, logo as radianas cancelam e \lambda tem unidade \mathrm{s}^{-2}.
Em forma decimal (usando vírgula):\lambda=-\frac{9}{100}=-0,09\\ \mathrm{s^{-2}}.
Passo 5
Interpretação curta e checagem de consistência.
Sinal: \lambda é negativo, o que faz sentido físico: \alpha(\theta)=\lambda\theta com \lambda<0 significa que a aceleração angular aponta no sentido que diminui a velocidade quando \theta>0 (é uma desaceleração proporcional ao deslocamento angular).
Forma alternativa útil:\lambda=-\left(\frac{3}{10}\\ \mathrm{s^{-1}}\right)^{2}=-\left(0,3\\ \mathrm{s^{-1}}\right)^{2},cujo valor numérico é -0,09\\ \mathrm{s^{-2}}.