Um carro de massa m=1.200 \mathrm{~kg} percorre uma curva circular plana de raio R=50 \mathrm{~m}. O coeficiente de atrito estático \mu_{e}=0,40 entre os pneus e o asfalto.
a) Qual é a velocidade máxima que o carro pode ter para fazer a curva sem derrapar?
b) Caso o coeficiente de atrito fosse reduzido para \mu_{e}=0,20 qual seria a nova velocidade máxima?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Massa do carro: m=1200\\ \mathrm{kg}.
  • Raio da curva: R=50\\ \mathrm{m}.
  • Caso (a): coeficiente de atrito estático \mu_e=0{,}40. Pergunta: qual a velocidade máxima para o carro fazer a curva sem derrapar?
  • Caso (b): coeficiente de atrito estático \mu_e=0{,}20. Pergunta: qual a nova velocidade máxima?

Passo 2

Entendendo as forças atuantes (explicação didática):
  • Na direção vertical atuam o peso do carro, mg, para baixo, e a reação normal do chão, N, para cima. Como não há movimento vertical, essas duas forças se equilibram: N=mg.
  • Na direção horizontal (para o centro da curva) a força que pode fornecer a aceleração centrípeta é a força de atrito estático entre pneus e asfalto. O módulo máximo dessa força estática é
F_{s,\max}=\mu_e N.
Aqui F_{s,\max} é o máximo da força de atrito estático, \mu_e é o coeficiente de atrito estático e N é a normal.

Passo 3

Explicando a necessidade de força centrípeta:
  • Para um movimento circular com velocidade escalar v e raio R, a aceleração dirigida ao centro chamada aceleração centrípeta tem módulo
a_c=\frac{v^2}{R}.
  • A força necessária para produzir essa aceleração em uma massa m é, pela segunda lei de Newton,
F_{\text{centrípeta}}=m a_c = m\frac{v^2}{R}.í
  • Para não derrapar, a força de atrito disponível deve ser pelo menos igual à força centrípeta exigida. Ou seja,
m\frac{v^2}{R}\le F_{s,\max}.

Passo 4

Substituindo F_{s,\max}=\mu_e N e N=mg na desigualdade e simplificando (aqui faço as contas simbólicas para você saber o passo a passo):
m\frac{v^2}{R}\le \mu_e N = \mu_e mg.
Como m>0 podemos dividir os dois lados por m:
\frac{v^2}{R}\le \mu_e g.
Multiplicando por R e isolando v obtemos a velocidade máxima permissível:
v_{\max}=\sqrt{\mu_e g R}.
Nesta fórmula:
  • v_{\max} é a velocidade máxima (em \mathrm{m/s}),
  • \mu_e é o coeficiente de atrito estático,
  • g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}),
  • R é o raio da curva.

Passo 5

Cálculo numérico para o caso (a) \mu_e=0{,}40:
  • Primeiro calculo \mu_e g R:
\mu_e g R = 0{,}40 \times 9{,}8 \times 50.
Faço em etapas: 9{,}8\times 50=490. Então 0{,}40\times 490=196.
  • Agora v_{\max}=\sqrt{196}. Como 196=14^2, temos
v_{\max}=14\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Cálculo numérico para o caso (b) \mu_e=0{,}20:
  • Primeiro \mu_e g R:
\mu_e g R = 0{,}20 \times 9{,}8 \times 50.
De novo 9{,}8\times 50=490. Então 0{,}20\times 490=98.
  • Agora v_{\max}=\sqrt{98}. Podemos fatorar 98=49\times 2, logo \sqrt{98}=7\sqrt{2}.
  • Em valor numérico aproximado \sqrt{2}\approx 1{,}4142, então 7\sqrt{2}\approx 9{,}899. Arredondando para duas casas decimais:
v_{\max}\approx 9{,}90\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Breve verificação e incentivo:
  • Faz sentido físico: reduzir o coeficiente de atrito pela metade reduz a velocidade máxima para cerca de 9{,}9/14\approx 0{,}71 vezes, pois v_{\max} escala como a raiz quadrada de \mu_e. Ou seja, uma queda grande no atrito reduz bastante a velocidade segura.
  • Você conseguiu ver todos os passos algébricos e numéricos — na prova, basta lembrar da igualdade entre força centrípeta m v^2/R e a força máxima de atrito \mu_e m g e isolar v.

Resposta

(a) 14\\ \mathrm{m/s}
(b) 9{,}90\\ \mathrm{m/s}

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