Um carro de massa
percorre uma curva circular plana de raio
. O coeficiente de atrito estático
entre os pneus e o asfalto.
a) Qual é a velocidade máxima que o carro pode ter para fazer a curva sem derrapar?
b) Caso o coeficiente de atrito fosse reduzido para
qual seria a nova velocidade máxima?
a) Qual é a velocidade máxima que o carro pode ter para fazer a curva sem derrapar?
b) Caso o coeficiente de atrito fosse reduzido para
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
- Massa do carro:
. - Raio da curva:
. - Caso (a): coeficiente de atrito estático
. Pergunta: qual a velocidade máxima para o carro fazer a curva sem derrapar? - Caso (b): coeficiente de atrito estático
. Pergunta: qual a nova velocidade máxima?
Passo 2
Entendendo as forças atuantes (explicação didática):
- Na direção vertical atuam o peso do carro,
, para baixo, e a reação normal do chão, , para cima. Como não há movimento vertical, essas duas forças se equilibram: . - Na direção horizontal (para o centro da curva) a força que pode fornecer a aceleração centrípeta é a força de atrito estático entre pneus e asfalto. O módulo máximo dessa força estática é
Aqui
é o máximo da força de atrito estático,
é o coeficiente de atrito estático e
é a normal.
Passo 3
Explicando a necessidade de força centrípeta:
- Para um movimento circular com velocidade escalar
e raio , a aceleração dirigida ao centro chamada aceleração centrípeta tem módulo
- A força necessária para produzir essa aceleração em uma massa
é, pela segunda lei de Newton,
- Para não derrapar, a força de atrito disponível deve ser pelo menos igual à força centrípeta exigida. Ou seja,
Passo 4
Substituindo
e
na desigualdade e simplificando (aqui faço as contas simbólicas para você saber o passo a passo):
Como
podemos dividir os dois lados por
:
Multiplicando por
e isolando
obtemos a velocidade máxima permissível:
Nesta fórmula:
-
é a velocidade máxima (em ), -
é o coeficiente de atrito estático, -
é a aceleração da gravidade (vou usar ), -
é o raio da curva.
Passo 5
Cálculo numérico para o caso (a)
:
- Primeiro calculo
:
Faço em etapas:
. Então
.
- Agora
. Como , temos
Passo 6
Cálculo numérico para o caso (b)
:
- Primeiro
:
De novo
. Então
.
- Agora
. Podemos fatorar , logo . - Em valor numérico aproximado
, então . Arredondando para duas casas decimais:
Passo 7
Breve verificação e incentivo:
- Faz sentido físico: reduzir o coeficiente de atrito pela metade reduz a velocidade máxima para cerca de
vezes, pois escala como a raiz quadrada de . Ou seja, uma queda grande no atrito reduz bastante a velocidade segura. - Você conseguiu ver todos os passos algébricos e numéricos — na prova, basta lembrar da igualdade entre força centrípeta
e a força máxima de atrito e isolar .
Resposta
(a)
(b)
(b)