Um bloco de 3 kg está em movimento descendo uma rampa inclinada em um ângulo de 20 graus em relação à horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é de 0,4 . Qual é a aceleração do bloco?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Massa do bloco: m = 3\\ \mathrm{kg}.
  • Inclinação da rampa: \theta = 20^\circ.
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu_k = 0,4.
  • O bloco está em movimento descendo a rampa (ou seja, inicialmente o movimento é para baixo ao longo da rampa).
  • Pergunta: qual é a aceleração do bloco?
Observação: vou usar a aceleração da gravidade \;g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}\; (valor padrão). Não começo a resolver aqui; só listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Descrevendo as forças que atuam no bloco (diagrama de corpo livre verbal):
  • Peso: \vec{P}=m\vec{g}, atua verticalmente para baixo.
  • Força normal: \vec{N}, atua perpendicularmente à superfície da rampa (para fora da superfície).
  • Força de atrito cinético: \vec{f}_k, atua ao longo da superfície e tem sentido oposto ao movimento (como o bloco desce, \vec{f}_k aponta para cima ao longo da rampa).
Agora vamos decompor o peso em componentes em relação à rampa:
  • Componente do peso paralela à rampa (para baixo): P_{\parallel}=mg\sin\theta.
  • Componente do peso perpendicular à rampa: P_{\perp}=mg\cos\theta.
A intensidade da força de atrito cinético é dada por
f_k = \mu_k N.
Como a normal equilibra a componente perpendicular do peso (não há aceleração perpendicular), temos N = P_{\perp} = mg\cos\theta. Logo
f_k = \mu_k mg\cos\theta.

Passo 3

Escrevendo a segunda lei de Newton ao longo do eixo paralelo à rampa.
Escolho como direção positiva o sentido para baixo ao longo da rampa (mesmo sentido do movimento inicial). A soma das forças paralelas a rampa é
\sum F_{\parallel} = P_{\parallel} - f_k = mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta.
Pela segunda lei, \sum F_{\parallel} = ma. Portanto
mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta = ma.
Podemos fatorar m e cancelar dos dois lados (isso mostra que, nessa situação, a massa não influencia a aceleração):
g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta = a.
Ou, em forma compacta,
\boxed{a = g\bigl(\sin\theta - \mu_k\cos\theta\bigr).}
Explicação didática rápida: fazemos soma algébrica das forças no sentido escolhido; a componente do peso puxa para baixo ( mg\sin\theta) e o atrito puxa para cima ( \mu_k mg\cos\theta). A diferença dá a força líquida dividida pela massa, que é a aceleração.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos. Primeiro os valores de seno e cosseno (valores aproximados):
\sin 20^\circ \approx 0,3420,\qquad \cos 20^\circ \approx 0,9397.
Calcule a combinação dentro dos parênteses:
\sin 20^\circ - \mu_k \cos 20^\circ \approx 0,3420 - 0,4\cdot 0,9397.
Calcule passo a passo:
0,4\cdot 0,9397 = 0,3759,
0,3420 - 0,3759 = -0,0339\\ (\text{aprox.}).
Agora multiplica por g=9,8:
a = 9,8\cdot(-0,0339)\approx -0,332\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando com três algarismos significativos, \;a \approx -0,332\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Interpretação do sinal negativo e significado físico:
  • Escolhemos o sentido para baixo ao longo da rampa como positivo. O resultado negativo indica que a aceleração tem sentido contrário a esse — isto é, a aceleração aponta para cima ao longo da rampa.
  • Como o bloco estava inicialmente em movimento para baixo, uma aceleração para cima significa que o atrito é grande o suficiente para reduzir a velocidade do bloco (o bloco está desacelerando enquanto desce). Se a desaceleração persistir, o bloco pode parar e eventualmente inverter o sentido, dependendo de condições iniciais.
  • Intuição rápida: existe um ângulo crítico \theta_c tal que para \theta>\theta_c o bloco acelera para baixo. Esse ângulo satisfaz \tan\theta_c=\mu_k. Aqui \arctan(0,4)\approx 21,8^\circ, e como 20^\circ<21,8^\circ é razoável que a aceleração para baixo seja negativa (ou seja, frenagem).

Resposta

-0,332\\ \mathrm{m/s^2} sentido para cima ao longo da rampa (ou seja, desaceleração de 0,332\\ \mathrm{m/s^2} enquanto o bloco desce).

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