Problema 1
Se \mathrm{a}=8 t^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine v quando \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} se \mathrm{v}=0 em \mathrm{t}=0.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração em função do tempo
a(t)=8\,t^2\quad\bigl[\mathrm{m/s^2}\bigr]
e informa que a velocidade inicial é v(0)=0. Queremos achar v(1). Lembrando que
a(t)=\frac{dv}{dt},
podemos obter v(t) integrando a(t).

Passo 2

Escrevemos a relação diferencial e integramos de 0 até t:
\frac{dv}{dt}=8\,t^2 \quad\Longrightarrow\quad dv=8\,t^2\,dt
\int_{v(0)}^{v(t)}dv=\int_{0}^{t}8\,\tau^2\,d\tau.

Passo 3

Como v(0)=0, a integral fica
v(t)=\int_{0}^{t}8\,\tau^2\,d\tau =8\int_{0}^{t}\tau^2\,d\tau =8\left[\frac{\tau^3}{3}\right]_{0}^{t} =\frac{8}{3}\,t^3.

Passo 4

Para t=1 segundo, substituímos:
v(1)=\frac{8}{3}\,(1)^3=\frac{8}{3}\quad\mathrm{m/s}.

Resposta

v(1)=\frac{8}{3}\,\mathrm{m/s}\approx2{,}67\,\mathrm{m/s}.

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