Um carro parte do repouso, em movimento retilíneo, com aceleração a=(3 s^-1 / 3) m / s^2, onde s é dado em metros. Determine a aceleração do carro quando t=4 s.

Passo 1

O enunciado diz que um carro parte do repouso (ou seja, velocidade inicial zero) e se move em linha reta com aceleração dada em função da posição s por
a(s)=3,s^-1/3l(m/s^2r)
A tarefa é encontrar essa aceleração no instante t=4,s.
Conteúdo envolvido: equações diferenciais simples, relação entre aceleração, velocidade e posição e integração. Para resolver, vamos usar a cadeia
a=dvdt=dvds,dsdt=v,dvds,
e depois separar variáveis para achar s(t).

Passo 2

Partindo de
a(s)=v,dvds=3,s^-1/3,
separamos e integramos em v e s:
v,dv=3,s^-1/3,ds

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral0^v v',dv'=integral0^s3,s'^-1/3,ds'
12v^2g|0^v=3cdots'^2/32g|0^s
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12v^2=32,s^2/3Longrightarrow v^2=3,s^2/3,cdot2=9,s^2/3
therefore v(s)=3,s^1/3

Passo 4

Agora usamos v=dfracdsdt=3,s^1/3 e separamos variáveis para achar s(t):
dss^1/3=3,dt
Integrando de 0 a s e de 0 a t,
integral0^s s'^-1/3ds'=3integral0^t dt'
32,s^2/3=3,tLongrightarrow s^2/3=2,t
therefore s(t)=l(2tr)^3/2=2^3/2,t^3/2=2raiz2;t^3/2

Passo 5

Volta na fórmula original da aceleração:
a(t)=3;[s(t)]^-1/3 =3l(2raiz2;t^3/2r)^-1/3 =3,(2raiz2)^-1/3;t^-1/2
Como 2raiz2=2^3/2, tem-se (2^3/2)^-1/3=2^-1/2=1/raiz2, então
a(t)=3raiz2;t^-1/2=3raiz2,raiz t

Passo 6

Basta agora pôr t=4,s:
$$a(4)=\frac{3}{\sqrt2,\sqrt4}=\frac{3}{\sqrt2\cdot2}=\frac{3}{2\sqrt2}
=\frac{3\sqrt2}{4}\approx1,06;\mathrm{m/s^2}.$$

Resposta

boxeda(4)=3raiz24,m/s^2approx1,06;m/s^2

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