A velocidade de um ponto material em movimento retilíneo é dada por v=[5 /(4+s)] m / s, onde s é dado em metros. Determine a posição do ponto para t=6 s, considerando s=5 m quando t=0.

Passo 1

Beleza, o problema diz que a velocidade de um objeto em movimento retilíneo é
v = 54 + s(m/s),
onde s é a posição em metros. Queremos achar a posição s quando t = 6,s, sabendo que s(0)=5,m.
Conteúdo: aqui vamos usar equações diferenciais simples (separação de variáveis) e integração.

Passo 2

Primeiro, lembramos que v = dfracdsdt. Então a equação vira
dsdt = 54 + s
Isso é uma equação diferencial que dá pra resolver “separando variáveis”: colocar tudo com s de um lado e tudo com t do outro.

Passo 3

Separe as variáveis:
(4 + s),ds = 5,dt
Agora integramos os dois lados:
integral (4 + s),ds = integral 5,dt

Passo 4

Fazendo as integrais:
integral 4,ds + integral s,ds = 4s + s^22,
integral 5,dt = 5t + C,
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4s + s^22 = 5t + C

Passo 5

Usamos a condição inicial s(0)=5. Em t=0, s=5:
4cdot5 + 5^22 = C Longrightarrow 20 + 12,5 = 32,5 = C
Então a equação completa é
4s + s^22 = 5t + 32,5
Para achar s(t), reorganizamos em forma de equação quadrática: multiplica tudo por 2
8s + s^2 = 10t + 65
Rightarrow;s^2 + 8s - (10t + 65) = 0
Resolvendo pra s (fórmula de Bhaskara):
$$s(t) = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 + 4,(10t+65)}}{2}
= \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 40t +260}}{2}
= \frac{-8 \pm \sqrt{324 + 40t}}{2}.$$
A gente escolhe o sinal “ s(t) = -8 pm raiz8^2 + 4,(10t+65)2 = -8 pm raiz64 + 40t +2602 = -8 pm raiz324 + 40t2” pra garantir que em + t=0.

Passo 6

Agora basta botar t=6:
s(6) = -8 + raiz324 + 40cdot62 = -8 + raiz324 + 2402 = -8 + raiz5642 = -8 + 2raiz1412 = -4 + raiz141 approx 7,87 m

Resposta

s(6) = -4 + raiz141approx 7,87 m

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