A velocidade de um ponto material em movimento retilíneo é dada por
, onde
é dado em metros. Determine a posição do ponto para
, considerando
quando
.
Passo 1
Beleza, o problema diz que a velocidade de um objeto em movimento retilíneo é
onde
Conteúdo: aqui vamos usar equações diferenciais simples (separação de variáveis) e integração.
Passo 2
Primeiro, lembramos que
. Então a equação vira
Isso é uma equação diferencial que dá pra resolver “separando variáveis”: colocar tudo com
Passo 3
Separe as variáveis:
Agora integramos os dois lados:
Passo 4
Fazendo as integrais:
logo
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Em
,
:
Então a equação completa é
Para achar
, reorganizamos em forma de equação quadrática: multiplica tudo por 2
Resolvendo pra
$$s(t) = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 + 4,(10t+65)}}{2}
= \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 40t +260}}{2}
= \frac{-8 \pm \sqrt{324 + 40t}}{2}.$$
A gente escolhe o sinal “ ” pra garantir que em
dê
.
A gente escolhe o sinal “
Passo 6
Agora basta botar
: