1. Um carro percorre uma distância de 180 km em 2 horas. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, em algum momento durante a viagem, a velocidade instantânea do carro foi exatamente 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado nos diz que um carro percorre 180 km em 2 horas e pede para mostrar, usando o Teorema do Valor Médio, que em algum instante a velocidade instantânea foi exatamente 90 km/h. O conteúdo aqui é cálculo diferencial: vamos modelar a posição do carro por uma função s(t) contínua em [0,2] e diferenciável em (0,2), e aplicar o Teorema do Valor Médio para derivadas.

Passo 2

Definimos s(t) como a distância (em km) percorrida pelo carro até o instante t (em horas). Pelas condições do enunciado:
s(0)=0
s(2)=180
Como s é contínua em [0,2] e diferenciável em (0,2), o Teorema do Valor Médio garante que existe c\in(0,2) tal que
s'\text{(c)}=\frac{s(2)-s(0)}{2-0}=\frac{180-0}{2}=90.
Mas s'(t) é exatamente a velocidade instantânea v(t). Logo em t=c a velocidade é
v\text{(c)}=s'\text{(c)}=90\text{ km/h}.

Resposta

Existe algum instante c\in(0,2) em que a velocidade instantânea do carro foi exatamente 90 km/h.

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