- Dada a função
, explique por que o Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado no intervalo
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para explicar por que o Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado no intervalo
. O conteúdo que vamos usar é o próprio enunciado do Teorema do Valor Médio, que exige duas hipóteses:
-
deve ser contínua em . -
deve ser diferenciável em .
Passo 2
Verificamos a continuidade de
em
. A função valor absoluto é contínua em toda a reta, logo em particular ela é contínua em
. Portanto, a primeira hipótese do Teorema do Valor Médio está satisfeita.
Passo 3
Agora checamos a diferenciabilidade de
Para
; para
a derivada é
. No ponto
, os limites laterais da derivada são diferentes:
portanto
não existe. Assim,
não é diferenciável em
, que pertence ao intervalo aberto
.
Resposta
O Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado porque, apesar de
ser contínua em
, ela não é diferenciável em
, violando a segunda hipótese do teorema.