Um carro percorre um trecho retilíneo ao longo de uma estrada. Sua distância a um sinal de parada é uma função do tempo
dada por
onde
e
.
A) Determine a velocidade instantânea em 0 s e 2 s.
B) Determine a aceleração média entre 0 s e 2 s .
C) Determine a aceleração instantânea em 0 s e 2 s.
A) Determine a velocidade instantânea em 0 s e 2 s.
B) Determine a aceleração média entre 0 s e 2 s .
C) Determine a aceleração instantânea em 0 s e 2 s.
Passo 1
O enunciado dá a função posição em relação a um sinal de parada:
com
e
.
Perguntas pedidas:
Perguntas pedidas:
- A) Determinar a velocidade instantânea em
e em . - B) Determinar a aceleração média entre
e . - C) Determinar a aceleração instantânea em
e em .
Todas as quantidades (posição, velocidade, aceleração) devem vir com unidades apropriadas. Não inicio ainda a resolução; apenas listei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Entender o que é velocidade instantânea e como obtê-la aqui. Velocidade instantânea
é a derivada da posição em relação ao tempo:
Regra que usamos: a derivada de
é
. Aplicando a derivada termo a termo em
temos
Aqui
e
são constantes conhecidas;
é o tempo em segundos. Essa fórmula nos dá a velocidade em qualquer instante
.
Passo 3
Agora calculo a velocidade nos instantes pedidos usando a expressão encontrada. Substituo
e
:
Para
:
Portanto
.
Para
:
Substituindo numericamente
e
:
Resumo:
e
.
Passo 4
Definir aceleração média e calcular entre
e
. A aceleração média
em um intervalo de tempo é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
Aqui
e
. Usando os valores encontrados:
Interpretação curta: em média, a velocidade aumentou
ao longo de
, resultando em
.
Passo 5
Agora a aceleração instantânea. A aceleração instantânea
é a derivada da velocidade ou a segunda derivada da posição:
Partindo de
, aplico a derivada:
Explicando: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 6
Calculo agora
e
usando
Para
:
Para
:
Numericamente:
Observação rápida: a aceleração instantânea diminui no tempo devido ao termo
, mas continua positiva nos instantes pedidos.
Resposta
A)
B)
C)
B)
C)