Um carro percorre um trecho retilíneo ao longo de uma estrada. Sua distância a um sinal de parada é uma função do tempo t dada por x(t)=\alpha t^{2}-\beta t^{3} onde \alpha=1,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \beta= 0,0500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}.
A) Determine a velocidade instantânea em 0 s e 2 s.
B) Determine a aceleração média entre 0 s e 2 s .
C) Determine a aceleração instantânea em 0 s e 2 s.

Passo 1

O enunciado dá a função posição em relação a um sinal de parada:
x(t)=\alpha t^{2}-\beta t^{3}
com \alpha=1,50\\ \mathrm{m/s^{2}} e \beta=0,0500\\ \mathrm{m/s^{3}}.
Perguntas pedidas:
  1. A) Determinar a velocidade instantânea em t=0\\ \mathrm{s} e em t=2\\ \mathrm{s}.
  2. B) Determinar a aceleração média entre t=0\\ \mathrm{s} e t=2\\ \mathrm{s}.
  3. C) Determinar a aceleração instantânea em t=0\\ \mathrm{s} e em t=2\\ \mathrm{s}.
Todas as quantidades (posição, velocidade, aceleração) devem vir com unidades apropriadas. Não inicio ainda a resolução; apenas listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Entender o que é velocidade instantânea e como obtê-la aqui. Velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Regra que usamos: a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}. Aplicando a derivada termo a termo em
x(t)=\alpha t^{2}-\beta t^{3},
temos
v(t)=\frac{d}{dt}\big(\alpha t^{2}\big)-\frac{d}{dt}\big(\beta t^{3}\big)=2\alpha t-3\beta t^{2}.
Aqui \alpha e \beta são constantes conhecidas; t é o tempo em segundos. Essa fórmula nos dá a velocidade em qualquer instante t.

Passo 3

Agora calculo a velocidade nos instantes pedidos usando a expressão encontrada. Substituo \alpha e \beta:
v(t)=2\alpha t-3\beta t^{2}.
Para t=0:
v(0)=2\alpha\cdot 0-3\beta\cdot 0^{2}=0.
Portanto v(0)=0\\ \mathrm{m/s}.
Para t=2\\ \mathrm{s}:
v(2)=2\alpha\cdot 2-3\beta\cdot 2^{2}=4\alpha-12\beta.
Substituindo numericamente \alpha=1,50 e \beta=0,0500:
4\alpha=4\cdot 1,50=6,00,
12\beta=12\cdot 0,0500=0,600,
v(2)=6,00-0,600=5,40\\ \mathrm{m/s}.
Resumo: v(0)=0\\ \mathrm{m/s} e v(2)=5,40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Definir aceleração média e calcular entre 0 e 2. A aceleração média \bar{a} em um intervalo de tempo é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui t_{1}=0 e t_{2}=2. Usando os valores encontrados:
\bar{a}=\frac{v(2)-v(0)}{2-0}=\frac{5,40-0}{2}= \frac{5,40}{2}=2,70\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação curta: em média, a velocidade aumentou 5,40\\ \mathrm{m/s} ao longo de 2\\ \mathrm{s}, resultando em 2,70\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Agora a aceleração instantânea. A aceleração instantânea a(t) é a derivada da velocidade ou a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Partindo de v(t)=2\alpha t-3\beta t^{2}, aplico a derivada:
a(t)=\frac{d}{dt}\big(2\alpha t\big)-\frac{d}{dt}\big(3\beta t^{2}\big)=2\alpha-6\beta t.
Explicando: a derivada de 2\alpha t é 2\alpha e a derivada de 3\beta t^{2} é 6\beta t.

Passo 6

Calculo agora a(0) e a(2) usando
a(t)=2\alpha-6\beta t.
Para t=0:
a(0)=2\alpha-6\beta\cdot 0=2\alpha=2\cdot 1,50=3,00\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Para t=2:
a(2)=2\alpha-6\beta\cdot 2=2\alpha-12\beta.
Numericamente:
2\alpha=3,00,\qquad 12\beta=0,600,
a(2)=3,00-0,600=2,40\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação rápida: a aceleração instantânea diminui no tempo devido ao termo -6\beta t, mas continua positiva nos instantes pedidos.

Resposta

A) v(0)=0\\ \mathrm{m/s} \quad v(2)=5,40\\ \mathrm{m/s}
B) \bar{a}_{0\to2}=2,70\\ \mathrm{m/s^{2}}
C) a(0)=3,00\\ \mathrm{m/s^{2}} \quad a(2)=2,40\\ \mathrm{m/s^{2}}

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