Em uma carta desenhada na escala \mathrm{E}_{\mathrm{c}}=1: 50.000, a distância (I) entre dois pontos A e B é 12 cm . Em outra carta de escala desconhecida ( \mathrm{E}_{\mathrm{D}} ) os mesmos pontos A e B tem uma distância de 0,024 \mathrm{~m} entre eles. Qual o módulo da escala da carta desconhecida (MD) e, consequentemente, qual é a sua escala ( \mathrm{E}_{\mathrm{D}} )? ( 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado dá o seguinte:
  • A escala da primeira carta é \mathrm{E}_{\mathrm{c}} = 1:50\,000.
  • Na primeira carta, a distância entre A e B é \,12\\ \mathrm{cm}.
  • Na segunda carta (escala desconhecida \mathrm{E}_{\mathrm{D}}), a distância entre A e B é \,0,024\\ \mathrm{m}.
    O que se pede:
  • Calcular o módulo da escala da carta desconhecida (MD).
  • Determinar a escala \mathrm{E}_{\mathrm{D}} correspondente (no formato 1:n).

Passo 2

Entendendo o conceito de escala (aula curtinha e prática):
  • Uma escala escrita como 1:n significa que 1 unidade de comprimento no mapa representa n unidades iguais no terreno (real).
  • Se d_{\text{mapa}} é a distância medida no mapa e D_{\text{real}} é a distância real correspondente, então vale a relação
D_{\text{real}} = d_{\text{mapa}}\times n.
Aqui n é o módulo da escala (o número que aparece depois dos dois pontos). Podemos reorganizar para obter n quando conhecemos D_{\text{real}} e d_{\text{mapa}}:
n=\frac{D_{\text{real}}}{d_{\text{mapa}}}.
Vou aplicar isso ao problema: primeiro preciso descobrir D_{\text{real}} usando a primeira carta, depois usar esse D_{\text{real}} e a distância na segunda carta para achar n (que é o MD).

Passo 3

Calcular a distância real D_{\text{real}} usando a primeira carta. Na primeira carta temos \mathrm{E}_{\mathrm{c}}=1:50\,000 e d_c=12\\ \mathrm{cm}. Pela definição:
D_{\text{real}} = d_c \times 50\,000.
Faço as contas em centímetros e depois converto para metros para ficar prático na comparação com a segunda carta:
D_{\text{real}} = 12\\ \mathrm{cm}\times 50\,000 = 600\,000\\ \mathrm{cm}.
Convertendo centímetros para metros (lembrando que 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}):
D_{\text{real}} = \frac{600\,000\\ \mathrm{cm}}{100} = 6\,000\\ \mathrm{m}.
Portanto a distância real entre A e B é 6\,000\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora uso a segunda carta para achar o módulo n (que é o MD). Na segunda carta a distância é d_D = 0,024\\ \mathrm{m} e já obtivemos D_{\text{real}} = 6\,000\\ \mathrm{m}. Aplicando
n=\frac{D_{\text{real}}}{d_D},
tenho:
n=\frac{6\,000}{0,024}.
Calculo passo a passo: dividir por 0,024 é multiplicar por \frac{1}{0,024}. Note que 0,024 = 24\cdot 10^{-3}, então
\frac{6\,000}{0,024}=6\,000\times\frac{1}{0,024}=6\,000\times\frac{1}{24\times 10^{-3}}=6\,000\times\frac{10^{3}}{24}.
Agora simplifico: 6\,000\times 10^{3}=6{,}0\times 10^{6} e dividir por 24
\frac{6{,}0\times 10^{6}}{24}=0{,}25\times 10^{6}=250\,000.
Ou fazendo de forma direta: 6\,000/0,024=250\,000. Esse número é o módulo da escala da carta desconhecida (MD).

Passo 5

Montando a escala a partir do módulo: como n=250\,000, a escala da segunda carta é
\mathrm{E}_{\mathrm{D}} = 1:250\,000.
Pequeno reforço prático: isso significa que 1 cm (ou 1 m, qualquer unidade) no mapa corresponde a 250\,000 dessas mesmas unidades no terreno.

Resposta

MD =250\,000
\mathrm{E}_{\mathrm{D}}=1:250\,000

Exercícios relacionados