Planeja-se um lançamento por amostragens para avaliar a alta incidência de Cariê em 1934 moradores de um certo bairro em Manaus. Savbe-se que a proporção de pessoas com cariê neste bairro é de
. Qual deve ser o tamanho da amostra, tal que possamos admitir um nível de confiança de
?
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de pessoas com cariê num bairro de
moradores, sabendo que a proporção verdadeira é
(ou seja,
). O nível de confiança pedido é
(ou seja, desejamos um intervalo de confiança com cobertura
).
Informações que temos do enunciado:
Informações que temos do enunciado:
Passo 2
Precisamos escolher uma margem de erro (também chamada de precisão)
. O enunciado não especifica
. Em exames e em muitos problemas práticos adota-se comumente
(ou seja,
) quando nada é informado — vou usar essa convenção aqui para calcular o tamanho da amostra. Se na sua prova o enunciado usar outro
, basta repetir os passos com esse valor.
Portanto assumimos:
Portanto assumimos:
Passo 3
Apresento a fórmula básica (sem correção para população finita) para o tamanho da amostra quando estamos estimando uma proporção. Chama-se
o tamanho de amostra calculado como se a população fosse muito grande:
onde:
-
é o quantil da distribuição normal correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para temos ); -
é a proporção estimada (aqui ); -
é a proporção complementar (aqui ); -
é a margem de erro desejada (aqui ).
Explicando: essa fórmula vem da expressão do erro padrão da proporçãoe da construção do intervalo de confiança vezes esse erro padrão; isolamos para obter a precisão .
Passo 4
Calculemos
passo a passo. Para
,
, e
. Então:
Multiplicando:
Dividindo por
:
Isso significa que, se a população fosse infinita, precisaríamos de cerca de
observações.
Passo 5
Como a população é finita (
), usamos a correção para população finita para reduzir o tamanho da amostra necessário. A fórmula com correção é:
essa fórmula ajusta
levando em conta que ao amostrar uma fração não desprezível da população a variabilidade diminui.
Passo 6
Aplicando a correção com os valores calculados:
Calculemos o denominador:
Agora o numerador (aproximação):
Dividindo:
Passo 7
O tamanho de amostra deve ser um número inteiro e, na prática, arredondamos sempre para cima para garantir a precisão desejada. Assim:
Não faz sentido pedir uma fração de pessoa, então escolhemos
. Parabéns — com
entrevistas/observações você terá um intervalo de confiança de
com margem de erro aproximadamente
para estimar a proporção
na população de
moradores.
Resposta
290