Planeja-se um lançamento por amostragens para avaliar a alta incidência de Cariê em 1934 moradores de um certo bairro em Manaus. Savbe-se que a proporção de pessoas com cariê neste bairro é de 67 \%. Qual deve ser o tamanho da amostra, tal que possamos admitir um nível de confiança de 95 \% ?

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de pessoas com cariê num bairro de N=1934 moradores, sabendo que a proporção verdadeira é p=67\% (ou seja, p=0,67). O nível de confiança pedido é 95\% (ou seja, desejamos um intervalo de confiança com cobertura 95\%).
Informações que temos do enunciado:
N=1934,\quad p=0,67,\quad\text{confiança}=95\%.ç

Passo 2

Precisamos escolher uma margem de erro (também chamada de precisão) e. O enunciado não especifica e. Em exames e em muitos problemas práticos adota-se comumente e=5\% (ou seja, e=0,05) quando nada é informado — vou usar essa convenção aqui para calcular o tamanho da amostra. Se na sua prova o enunciado usar outro e, basta repetir os passos com esse valor.
Portanto assumimos:
e=0,05.

Passo 3

Apresento a fórmula básica (sem correção para população finita) para o tamanho da amostra quando estamos estimando uma proporção. Chama-se n_0 o tamanho de amostra calculado como se a população fosse muito grande:
n_0=\frac{Z^2\,p\,q}{e^2},
onde:
  • Z é o quantil da distribuição normal correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para 95\% temos Z=1,96);
  • p é a proporção estimada (aqui p=0,67);
  • q=1-p é a proporção complementar (aqui q=0,33);
  • e é a margem de erro desejada (aqui e=0,05).
    Explicando: essa fórmula vem da expressão do erro padrão da proporção \sqrt{\dfrac{p q}{n}} e da construção do intervalo de confiança \pm Z vezes esse erro padrão; isolamos n para obter a precisão e.

Passo 4

Calculemos n_0 passo a passo. Para 95\%, Z=1,96, e q=1-p=0,33. Então:
Z^2 = (1,96)^2 = 3,8416.
p\,q = 0,67\cdot 0,33 = 0,2211.
Multiplicando:
Z^2 p q = 3,8416\cdot 0,2211 = 0,84937776.
Dividindo por e^2=(0,05)^2=0,0025:
n_0=\frac{0,84937776}{0,0025}\approx 339,751104 \approx 339,75.
Isso significa que, se a população fosse infinita, precisaríamos de cerca de 339,75 observações.

Passo 5

Como a população é finita ( N=1934), usamos a correção para população finita para reduzir o tamanho da amostra necessário. A fórmula com correção é:
n=\frac{N\,n_0}{N + n_0 - 1}
essa fórmula ajusta n_0 levando em conta que ao amostrar uma fração não desprezível da população a variabilidade diminui.

Passo 6

Aplicando a correção com os valores calculados:
n=\frac{1934\cdot 339,751104}{1934 + 339,751104 - 1}.
Calculemos o denominador:
1934 + 339,751104 - 1 = 2272,751104.
Agora o numerador (aproximação):
1934\cdot 339,751104 \approx 657078,634.
Dividindo:
n \approx \frac{657078,634}{2272,751104} \approx 289,187.

Passo 7

O tamanho de amostra deve ser um número inteiro e, na prática, arredondamos sempre para cima para garantir a precisão desejada. Assim:
n \approx 289,187 \Rightarrow n=290.
Não faz sentido pedir uma fração de pessoa, então escolhemos n=290. Parabéns — com 290 entrevistas/observações você terá um intervalo de confiança de 95\% com margem de erro aproximadamente 5\% para estimar a proporção p=0,67 na população de 1934 moradores.

Resposta

290

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