Considerando as funções a seguir. determine suas derivadas utilizando a regra da cadeia.
2 \cos (4 x)

Passo 1

O enunciado dá a função 2\cos(4x) e pede para determinar a sua derivada utilizando a regra da cadeia.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é f(x)=2\cos(4x).
  • A operação pedida é: calcular f'(x) (a derivada de f em relação a x).
  • Deve-se usar a regra da cadeia (ou seja, a função é uma composição, e há também um fator constante 2).

Passo 2

Lembrete útil: regra do fator constante. Se temos uma constante c multiplicando uma função g(x), ou seja f(x)=c\cdot g(x), então a derivada é
f'(x)=c\cdot g'(x).
Aqui, a constante é 2 e g(x)=\cos(4x). Isso significa que podemos primeiro derivar g e depois multiplicar o resultado por 2.

Passo 3

Agora a regra da cadeia (forma geral). Se temos uma função composta h(x)=v(u(x)), onde u(x) é a função interior e v(u) é a função exterior, a derivada é
h'(x)=v'(u(x))\cdot u'(x).
Explicando as letras: u(x) é a parte que fica “dentro” (dependendo de x); v(u) é a função que atua sobre u. Para derivar uma composição, derivamos a função exterior avaliando-a no interior e multiplicamos pela derivada do interior.

Passo 4

Identificamos as partes na nossa função g(x)=\cos(4x):
  • Função interior: u(x)=4x.
  • Função exterior: v(u)=\cos u.

Passo 5

Derivadas das partes:
  • Derivada do interior: u'(x)=\dfrac{d}{dx}(4x)=4. (Derivada de uma constante vezes x é a constante.)
  • Derivada da função exterior em relação a u: v'(u)=\dfrac{d}{du}(\cos u)=-\sin u. (A derivada de \cos é -\sin.)

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia a g(x)=\cos(4x):
g'(x)=v'(u(x))\cdot u'(x) = (-\sin(u(x)))\cdot 4 = -4\sin(4x).
Agora aplicamos a regra do fator constante (Passo 2) com f(x)=2\cdot g(x):
f'(x)=2\cdot g'(x)=2\cdot\bigl(-4\sin(4x)\bigr)=-8\sin(4x).

Passo 7

Resumo didático rápido: primeiro “puxamos” o 2 (fica multiplicando a derivada), depois derivamos \cos(4x) usando cadeia: derivada de \cos é -\sin avaliada em 4x, vezes a derivada de 4x que é 4. Multiplicando tudo dá -8\sin(4x). Um exemplo parecido para treinar: \dfrac{d}{dx}\cos(3x)=-3\sin(3x); só muda o fator da derivada do interior.

Resposta

-8\sin(4x)

Exercícios relacionados