Considerando as funções a seguir. determine suas derivadas utilizando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a sua derivada utilizando a regra da cadeia.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é
. - A operação pedida é: calcular
(a derivada de em relação a ). - Deve-se usar a regra da cadeia (ou seja, a função é uma composição, e há também um fator constante
).
Passo 2
Lembrete útil: regra do fator constante. Se temos uma constante
multiplicando uma função
, ou seja
, então a derivada é
Aqui, a constante é
e
. Isso significa que podemos primeiro derivar
e depois multiplicar o resultado por
.
Passo 3
Agora a regra da cadeia (forma geral). Se temos uma função composta
, onde
é a função interior e
é a função exterior, a derivada é
Explicando as letras:
é a parte que fica “dentro” (dependendo de
);
é a função que atua sobre
. Para derivar uma composição, derivamos a função exterior avaliando-a no interior e multiplicamos pela derivada do interior.
Passo 4
Identificamos as partes na nossa função
:
- Função interior:
. - Função exterior:
.
Passo 5
Derivadas das partes:
- Derivada do interior:
. (Derivada de uma constante vezes é a constante.) - Derivada da função exterior em relação a
: . (A derivada de é .)
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia a
:
Agora aplicamos a regra do fator constante (Passo 2) com
:
Passo 7
Resumo didático rápido: primeiro “puxamos” o
(fica multiplicando a derivada), depois derivamos
usando cadeia: derivada de
é
avaliada em
, vezes a derivada de
que é
. Multiplicando tudo dá
. Um exemplo parecido para treinar:
; só muda o fator da derivada do interior.